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10.2. Les mesures de risque cohérentes 355
où 0 ≤ a ≤ 1 et
σp = (E [max{(E[X] − X) p , 0}]) 1/p
(10.25)
est le semi-moment centré (inférieur) d’ordre p, est une mesure cohérente de risque. Plus généralement,
du fait que toute somme convexe de mesures cohérentes de risque est une mesure cohérente de risque, la
mesure
∞
ρ(X) = −E[X] + ap · σp, (10.26)
avec
est cohérente.
∞
p=1
p=1
ap ≤ 1 et ap ≥ 0, (10.27)
Ceci permet d’obtenir de façon simple les équivalents cohérents de certaines mesures de risque ou fonctions
d’utilité. Par exemple, la mesure de risque ρ(X) = −E[X] + a · σ2 peut être considérée comme la
généralisation cohérente de la fonction d’utilité moyenne-variance.
10.2.3 Représentation des mesures de risque cohérentes
Les axiomes présentés au paragraphe 10.2.1 ainsi que les quelques exemples que nous venons de donner
montrent qu’il existe une grande variété de mesures cohérentes : les axiomes ne sont pas assez contraignants
pour spécifier complétement une (unique) mesure de risque cohérente. Aussi est-il intéressant de
rechercher une représentation de ce type de mesures. Artzner et al. (1999) ont montré que
THÉORÈME 2 (REPRÉSENTATION DES MESURES COHÉRENTES DE RISQUE)
Une mesure de risque ρ est cohérente si et seulement si il existe une famille P de mesures de probabilité
sur l’espace des états de la nature telle que :
ρ(X) = sup
P∈P
EP
− X
. (10.28)
1 + r
Ainsi, une mesure cohérente de risque apparait comme l’espérance de perte maximale sur un ensemble
de scénarii réalisables. Il est alors évident que plus l’ensemble de scénarii considérés sera grand, plus
ρ(X) sera grand lui aussi, toutes choses égales par ailleurs. Ainsi, plus l’ensemble de scénarii considérés
est grand, plus la mesure de risque est conservatrice.
Cette expression mathématique n’est pas sans rappeler certaines formules que nous avons rencontrées
concernant la théorie de la décision dans l’incertain (voir les équations 10.16 et 10.17). Ceci est en
fait très naturel car les axiomes choisis par Artzner et al. (1999) pour définir les mesures de risques
cohérentes sont tout-à-fait similaires à ceux dont découlent le modèle d’utilité de Schmeidler (1986). La
légère différence entre les expressions (10.16) et (10.28), c’est-à-dire le changement du min en sup et le
passage d’une fonction d’utilité u(·) croissante à la fonction décroissante − ·
1+r
vient simplement du fait
que le décideur ou le gestionnaire de risques tend à maximiser son utilité alors qu’il cherche à minimiser
sa prise de risque. Ceci a comme conséquence que dans le modèle multi-prior, l’utilité est une quantité
super-additive et non pas sous-additive comme les mesures de risque cohérentes. De plus, la spécification
de la fonction − ·
1+r apparaissant dans (10.28) vient de l’axiome d’invariance par translation qui impose
que pour un investissement α dans l’actif sans risque ρ(α (1 + r)) = −α.
Aussi générale soit-elle, la représentation des mesures de risque cohérentes fournie par le théorème 2
n’est pas d’une utilisation ou d’une mise en oeuvre très simple. En effet, s’il est facile, dans la pratique,