statistique, théorie et gestion de portefeuille - Docs at ISFA

10.4. Conclusion 361
et de manière plus générale : ¯µp β/p . Ceci permet d’ailleurs de construire de façon très simple d’autres
mesures de fluctuations. En effet, il est aisé de montrer que toute somme (positive mais non nécessairement
convexe) de mesures de fluctuations de même degré d’homogénéité β est une mesure de fluctuation de
degré d’homogénéité β. Donc, dans l’esprit des mesures spectrales d’Acerbi (2002), nous pouvons définir
ρ(X) = dα φ(α) E [|X − E[X]| α ] β/α , (10.48)
pourvu que l’intégrale existe. Là encore, la fonction φ permet de quantifier l’aversion du gestionnaire de
risque vis-à-vis des grandes fluctuations.
10.4 Conclusion
Les avancées récentes en matière de théorie de la décision et de mesure de risque, que nous venons
d’exposer, nous permettrons au chapitre suivant de montrer comment mettre en œuvre une gestion de
portefeuille efficace vis-à-vis des grands risques. Toutefois, il convient de garder à l’esprit qu’une des
limites les plus importantes des mesures de risque que nous venons de présenter est de se restreindre à une
prise en compte mono-périodique des risques et de négliger l’approche inter-temporelle, qui est pourtant
fondamentale dans la mesure où les contraintes de risque ont souvent pour objectif d’être intégrées dans
un problème d’optimisation de portefeuille qui généralement est un problème dynamique.
Malheureusement, l’étude dynamique des risques est beaucoup moins avancée car beaucoup plus délicate
à formaliser que l’étude statique. On peut cependant présenter quelques tentatives ayant permis d’appréhender
ce problème. Tout d’abord citons les approches de Dacorogna, Gençay, Müller et Pictet
(2001) et Muzy, Sornette, Delour et Arnéodo (2001) notamment qui, partant de mesures de risques
mono-périodiques, montrent qu’il est possible de construire des mesures “multi-échelles” en moyennant
les mesures de risque mono-périodiques calculées à différentes échelles de temps. Ceci peut paraître
une méthode purement ad hoc, mais a d’une part révélé d’intéressants résultats et d’autre part repose
tout de même sur l’existence d’une cascade causale entre les différentes échelles temporelles (Arnéodo
et al. 1998, Muzy et al. 2001). Plus généralement, Wang (1999) a proposé un ensemble d’axiomes que
les mesures de risques dynamiques doivent satisfaire et a complété ainsi les travaux précédents de Shapiro
et Basak (2000) concernant la maximisation de l’utilité en temps continu ou de Ahn, Boudoukh,
Richardson et Whitelaw (1999) sur l’optimisation de la VaR en temps continu. Enfin, signalons certaines
mesures de risques telles les drawdowns, qui mesurent les pertes cumulées indépendamment de
leur durée, et qui ont suscité récemment un certain regain d’intérêt (Grossman et Zhou 1993, Cvitanic et
Karatzas 1995, Chekhlov, Uryasev et Zabarankin 2000, Johansen et Sornette 2002).