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1.2. De la difficulté de représenter la distribution des rendements 27
dont Veneziano, Moglen et Bras (1995), Avnir, Biham, Lidar et Malcai (1998), Bouchaud, Potters et
Meyer (2000), LeBaron (2001) ou encore Sornette et Andersen (2002), ont montré qu’il était très facile
de mettre en évidence un caractère multifractal pour des processus dont il est connu qu’ils ne possèdent
aucune propriété de fractalité, simplement du fait de la taille finie des séries temporelles considérées ou
d’autres mécanismes faisant intervenir des non-linéarités.
1.2 De la difficulté de représenter la distribution des rendements
Nous venons de voir dans la première partie du paragraphe précédent que la distribution des rendements
semblait pouvoir être décrite par des distributions régulièrement variables d’indice de queue de l’ordre
de trois ou quatre. Cependant, une autre hypothèse a récemment vu le jour, hypothèse selon laquelle les
distributions de rendements suivraient des lois exponentielles étirées. Or, si ces deux types de distributions
possèdent beaucoup de points communs, elles présentent néanmoins une différence majeure dont
l’impact théorique est très important.
Pour ce qui est des points communs, ces deux familles de distributions appartiennent à la classe des
distributions sous-exponentielles et sont donc à même de produire des événements extrêmes avec une
probabilité élevée. En particulier, pour cette classe de variables aléatoires, les grandes déviations de la
somme d’un grand nombre de ces variables sont dominées par les grandes déviations d’une seule d’entre
elles : la somme est grande si l’une des variables est grande (Embrechts et al. 1997, Sornette 2000), ce
qui contraste énormément avec les distributions dites super-exponentielles où chaque variable contribue
de manière significative (et globalement équivalente) à la somme (Frisch et Sornette 1997).
Cela dit, il existe une différence majeure : les distributions sous-exponentielles admettent des moments
de tous ordres alors que les distributions régulièrement variables n’admettent de moments que d’ordre
inférieur à leur indice de queue. Cette remarque montre combien il est crucial de pouvoir trancher entre
ces deux types de distributions, car nous verrons en partie III que ces moments vont jouer un rôle essentiel
dans la représentation du comportement qu’adoptent les agents économiques face au risque ainsi que
dans la modélisation des décisions qu’ils prennent. Il est donc absolument fondamental d’être sûr de leur
existence.
L’incertitude qui semble naître quant à la nature exacte de la distribution des rendements dans les
extrêmes et les difficultés à la déterminer précisément est à notre avis en grande partie liée aux dépendances
temporelles présentent dans les séries financières. En effet, lorsque les observations sont supposées
indépendantes et identiquement distribuées, la théorie montre que les estimateurs usuels - tel l’estimateur
de Hill (1975), qui permet de déterminer l’exposant de queue d’une distribution régulièrement variable,
mais aussi l’estimateur de Pickands (1975) - sont asymptotiquement consistants et normalement distribués
(Embrechts et al. 1997), ce qui permet, par exemple, d’estimer de façon précise l’incertitude
sur la mesure d’un indice de queue et éventuellement d’effectuer des tests d’égalité entre les indices de
queues de différents actifs ou entre la queue positive et négative d’un même actif afin de mettre, ou non,
à jour d’éventuelles dissymétries (Jondeau et Rockinger 2001).
Mais, lorsque les données présentent une certaine dépendance temporelle, on ne peut plus guère espérer
que la consistance asymptotique de ces estimateurs (Rootzèn, Leadbetter et de Haan 1998), l’incertitude
de la mesure étant quant à elle beaucoup plus importante que celle fournit sous hypothèse d’asymptotique
normalité. En effet, Kearns et Pagan (1997) ont montré que pour des processus de type (G)ARCH,
qui permettent de rendre raisonnablement compte des dépendances des séries financières (voir paragraphe
suivant), la déviation standard de l’estimateur de Hill peut être sept à huit fois plus grande que
celle estimée pour des séries dont les données sont indentiquement et indépendamment distribuées. Ces