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356 10. La mesure du risque
d’utiliser l’Expected Shortfall comme mesure cohérente de risque ou toute autre mesure cohérente ayant
une expression analytique simple, comment doit-on choisir l’ensemble des scénarii réalisables si l’on
veut en rester au degré de généralité proposé par le théorème de représentation ? Cette question n’admet
guère de réponse satisfaisante, et dans l’optique d’une mise en œuvre pratique, le point fondamental est
plutôt de savoir si la mesure de risque que l’on souhaite utiliser peut être estimée à partir des données
empiriques. De telles mesure de risques sont dites law-invariant, et nous nous restreindrons désormais à
la seule étude de ce type de mesures cohérentes. Si de plus, on ne s’intéresse qu’aux mesures comonotoniquement
additives 4 , on définit alors ce qu’Acerbi (2002) qualifie de mesures spectrales, pour lesquelles
Kusuoka (2001) puis Tasche (2002) ont démontré le théorème de représentation suivant :
THÉORÈME 3 (REPRÉSENTATION DES MESURES SPECTRALES)
Soit F une fonction de distribution continue et convexe et un réel p ∈ [0, 1]. La mesure de risque ρ est une
mesure spectrale, c’est-à-dire cohérente, law-invariant et comonotoniquement additive, si et seulement
si elle admet la représentation
ρ(X) = p
1
0
VaRu(X) F (du) + (1 − p)VaR1(X). (10.29)
Si de plus F admet une densité φ par rapport à la mesure de Lebesgue, (et en supposant p = 1 pour
simplifier) alors
ρ(X) =
1
0
VaRu(X) φ(u) du, (10.30)
et ρ(X) apparait comme la somme pondérée par φ(u) des VaRu, ce qui justifie, suivant Acerbi (2002),
que l’on puisse qualifier φ de “fonction d’aversion pour le risque”, puisque φ quantifie l’importance
accordée aux différents niveaux de risque quantifiés par le seuil de confiance u. Dans le cas où φ(u) =
α −1 · 1 (u