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358 10. La mesure du risque
à liquidité limitée, il est alors bien évident que la taille de la position devient un facteur de risque, aucun
marché n’étant en mesure d’absorber, sans fluctuation de cours, n’importe quelle taille d’ordre. Il peut
donc sembler a priori raisonnable de reformuler l’axiome d’homogénéité de la façon suivante :
AXIOME 11 (POSITIVE HOMOGÉNÉITÉ EN MARCHÉ ILLIQUIDE)
Il existe une constante β > 1, telle que
∀X ∈ G et ∀λ ≥ 0, ρ(λ · X) = λ β · ρ(X) , (10.33)
et plus la constante β est grande, plus les positions de grandes tailles sont pénalisées.
Cet axiome suppose en fait seulement que l’impact de la liquidité limitée du marché est la même pour
tous les actifs. Ceci n’est peut-être pas rigoureusement vrai, mais demeure une très bonne approximation
pour des compagnies de taille comparable (Lillo et al. 2002).
Il faut cependant noter qu’en tant que tel, cet axiome n’est pas compatible avec l’axiome d’invariance
par translation. En effet, considérons le risque ρ(λ(X +α·(1+r))), avec X ∈ G et α et λ deux réels. En
appliquant tout d’abord l’axiome d’invariance par translation, puis l’axiome d’homogénéité en marché
illiquide, on obtient :
ρ(λ(X + α · (1 + r))) = ρ(λX + λα · (1 + r)), (10.34)
= ρ(λX) − λα, (10.35)
= λ β · ρ(X) − λα. (10.36)
Si maintenant on fait usage de ces deux axiomes dans l’ordre inverse, il vient :
ρ(λ(X + α · (1 + r))) = λ β · ρ(X + α · (1 + r)), (10.37)
= λ β · ρ(X) − λ β α, (10.38)
ce qui est en contradiction avec le résultat précédent donné par l’équation (10.36)
Donc, si l’on veut restaurer la compatiblité entre l’axiome d’invariance par translation et l’axiome d’homogénéité
en marche illiquide, il faut restreindre ce dernier aux positions purement risquées, ce qui
revient à admettre la parfaite liquidité de l’actif sans risque. Une autre alternative consiste à modifier
l’axiome d’invariance par translation de sorte que pour un investissement de taille α dans l’actif sans
risque ρ(α · (1 + r)) = −α β , auquel cas, on tient aussi compte du risque d’illiquidité pour l’actif sans
risque.
Cette approche n’est donc pas très satisfaisante. Une meilleure solution a tout d’abord été proposée par
Heath (2000) puis par Föllmer et Schied (2002a). Leur idée consiste pour commencer à remarquer que
l’axiome de sous-additivité peut être remplacé par un axiome de convexité :
AXIOME 12 (CONVEXITÉ)
∀(X1, X2) ∈ G × G et ∀λ ∈ [0, 1], ρ(λ X1 + (1 − λ) X2) ≤ λ ρ(X1) + (1 − λ) ρ(X2). (10.39)
Cette substitution est parfaitement légitime puisque pour les fonctions homogènes, convexité et sousadditivité
sont équivalentes. Notons que comme l’axiome de sous-additivité, l’axiome de convexité garantit
que l’agrégation de positions risquées assure leur diversification.
Ainsi, les mesures de risque cohérentes peuvent être définies par un ensemble d’axiomes équivalents à
ceux énoncés en section 10.2.1 et qui sont les axiomes d’invariance par translation, d’homogénéité, de
convexité et de monotonie.