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10.1. La théorie de l’utilité 351
des préférences. Ajouté aux axiomes de comparabilité et de continuité, cet axiome permet d’affirmer
qu’il existe une unique probabilité P sur (Ω, F) et une fonction u(·) continue et croissante (définie à une
fonction affine croissante près) telle que l’utilité U de l’actif X est donnée par
U(X) = EP[u(X)], (10.13)
où u(·) joue comme d’habitude le rôle de fonction d’utilité dans le certain. Cette expression est analogue
à celle obtenue par la théorie de l’utilité espérée de von Neumann et Morgenstern (1947), à la différence
notoire qu’ici, la mesure de probabilité P est subjective et non pas objective.
L’axiome de la chose sûre est extrêmement fort car il permet de traiter tout problème de décision dans
l’incertain comme un problème de décision face au risque. Ceci n’est en fait pas très réaliste, si bien
que cette approche est rejetée sur le plan théorique comme sur le plan pratique. En effet, de même
qu’Allais (1953) avait prouvé que l’axiome d’indépendance était contredit empiriquement par la majorité
des agents, Ellsberg (1961) a pu montrer que dans des situations très simple de choix dans l’incertain
l’axiome de la chose sûre ne résistait pas non plus à l’expérience. En fait, la plupart des agents présentent
une aversion pour l’ambiguïté, dans le sens où, pour une même mise, ils préférent parier pour ou contre
un événement de probabilité P connue plutôt que pour ou contre un événement dont ils savent seulement
que sa probabilité est comprise P − ε et P + ε. On peut alors montrer que les agents satisfaisant au
modèle de Savage (1954) sont indifférents à l’ambiguité, puisqu’ils ne peuvent pas faire la différence
entre ces deux paris.
Pour dépasser cette contradiction empirique il convient d’affaiblir l’axiome de la chose sûre. Pour cela,
Schmeidler (1989) a proposé l’alternative suivante :
AXIOME 6 (CHOSE SÛRE COMONOTONE)
Soit une partition {Ωk} n k=1
de l’ensemble des états de la nature Ω et deux actifs X, Y ∈ B dont les
valeurs futures sont données par les variables aléatoires : X = (x1, Ω1; · · · ; xk, Ωk; · · · ; xn, Ωn) et
Y = (y1, Ω1; · · · ; yk, Ωk; · · · ; yn, Ωn), telles que x1 ≤ · · · ≤ xk ≤ · · · ≤ xn et y1 ≤ · · · ≤ yk ≤ · · · ≤
dans les actifs X
yn avec xk = yk. Soient alors les actifs X ′ , Y ′ ∈ B obtenus en remplaçant xk par x ′ k
et Y de sorte que xk−1 ≤ x ′ k ≤ xk+1 et yk−1 ≤ x ′ k = y′ k ≤ yk+1. Alors
X Y ⇐⇒ X ′ Y ′ . (10.14)
Cet axiome est très proche de l’axiome de la chose sûre comonotone dans le risque, si ce n’est que cette
fois, les probabilités pi des états Ωi ne sont pas connues.
A l’aide de cela, on montre qu’il existe non plus une unique probabilité P sur {Ω, F} mais une unique
capacité 3 v sur {Ω, F} et une fonction u(·) croissante et continue (définie à une transformation affine
3
Une capacité v est une fonction d’ensemble de {Ω, F} dans [0, 1] telle que :
– v(∅) = 0,
– v(Ω) = 1,
– ∀A, B ∈ F, A ⊂ B =⇒ v(A) ≤ v(B).
Rappelons qu’une mesure de probabilité P (addititive) vérifierait en plus
Une capacité est dite convexe si
∀A, B ∈ F, P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
∀A, B ∈ F, v(A) + v(B) ≤ v(A ∪ B) + v(A ∩ B).
Toute capacité convexe a un noyau non vide, où le noyau de v est
core(v) = {P ∈ P | ∀A ∈ F, P (A) ≥ v(A)} ,
et P est l’ensemble des mesures de probabilités additives sur {Ω, F}.