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5.1. Prix d’un actif et excès de demande 151
de vendeurs. Plus précisément, l’excès de demande est la différence entre la demande des acheteurs et
l’offre des vendeurs. Ainsi, la variation de prix dP (t), entre les instants t et t+dt, est fonction de l’excès
de demande ED(t), mais aussi a priori du prix lui-même P (t) :
dP (t)
dt
= f(P (t), ED(t)), (5.1)
où il suffit de choisir f(P (t), ED(t)) = P (t) · g(ED(t)), avec g(·) croissante et g(0) = 0 pour assurer
la positivité du prix P (t) à tout instant :
On peut noter que la quantité 1
P (t)
1
P (t)
dP (t)
dt
associé au prix P (t), si bien que r(t) est égal à g(ED(t)).
= g(ED(t)). (5.2)
· dP (t)
dt n’est en fait rien d’autre que le rendement instantané r(t)
Pour aller plus avant, il est nécessaire de spécifier un peu plus l’expression de la fonction g(·). En l’absence
de toute autre information, l’approche la plus simple consiste à remarquer que pour les faibles
excès de demande, un développement au premier ordre de g(·), pourvu que g ′ (0) existe et soit non nulle,
est déjà intéressant. En effet, il vient alors
1
P (t)
dP (t)
dt
ED(t)
= , (5.3)
λ
où l’on a noté g ′ (0) = λ −1 . Ce facteur λ mesure la liquidité ou profondeur du marché (Hausman, Lo et
MacKinlay 1992, Kempf et Korn 1999). Il représente l’excès de demande nécessaire pour faire bouger
le rendement instantané d’une unité et mesure donc la sensibilité du prix aux fluctuations de l’excès de
demande. La plupart des modèles que nous rencontrerons dans la suite utilisent cette représentation.
Farmer (1998) a montré que cette expression qui n’apparaît ici que comme une approximation (linéaire)
est en fait la relation exacte entre le prix et l’excès de demande si l’on admet que les ordres traités
simultanément le sont au même prix. Ceci est réaliste pour des marchés où le carnet d’ordre est traité en
continu, comme sur EURONEXT par exemple, mais devient peu crédible lorsque les ordres sont traités
de manière décentralisée par différents market-makers comme sur le NYSE.
En conclusion, la relation (5.3), même si elle admet certaines justifications théoriques, n’est généralement
qu’approximative, il est donc important de se demander quel est son domaine de validité. Les études
empiriques de Campbell et al. (1997), Chan et Fong (2000) ou Plerou, Gopikrishnan, Gabaix et Stanley
(2001) ont montré que lorsque l’excès de demande devient trop important, des non-linéarités - traduisant
un phénomène de saturation - deviennent appréciables. Ainsi, selon Plerou et al. (2001) la fonction g(·)
peut être raisonnablement approchée par la fonction tangente hyperbolique. Notons, que dans ce cas,
l’approximation (5.3) reste valable pour les excès de demande modérés. Ceci n’est plus vrai dans la
représentation de Zhang (1999) où la fonction g(·) est la fonction racine carrée, qui n’admet pas de
dérivée en zéro. Cette représentation en terme de racine carrée apparaît lorsque l’on admet qu’un ordre
peut ne pas être exécuté instantanément, mais requière d’autant plus de temps que sa taille est importante.
Son intérêt a récemment été confirmé par l’étude empirique de Lillo, Farmer et Mantegna (2002).
Cette dernière remarque met en lumière l’influence du temps d’exécution d’un ordre sur l’évolution du
prix, ce qui constitue en fait une autre des limitations de (5.3) (et de 5.1). En effet, il est incorrect de
considérer que l’évolution du prix à l’instant t ne dépend que de l’excès de demande au même instant :
Chordia et al. (2002) notamment ont montré que les grandes fluctuations de prix étaient aussi affectées
par les excès de demande passés. Plus précisément ceci semble là encore dépendre de l’organisation du
marché, puisque selon Brown et al. (1997) cet effet est plus important pour les marchés organisés autour