statistique, théorie et gestion de portefeuille - Docs at ISFA

378 12. Gestion des risques grands et extrêmes
librage du coefficient de dépendance de queue et
les grandes pertes réalisées entre les années 1962
et 2000 pour des actions principales et de grands
indices de marché. Conditionné à un grand mouvement
du marché, on peut ainsi déduire la probabilité
que tel ou tel actif subisse une perte du
même ordre.
Nature multidimensionnelle
des risques
Le Graal est de conjuguer la description des
distributions marginales sous-exponentielles avec
les dépendances inter-actifs non-gaussiennes et
idéalement les dépendances temporelles intermittentes
amenant les grandes pertes pour établir un
portefeuille optimal. Le problème est alors que la
notion d’“optimalité” n’est pas évidente à définir
en pratique : si la théorie économique nous dit
de maximiser la fonction d’utilité de l’investisseur,
en réalité nous ne la connaissons pas avec
précision. Le problème se complique par les multiples
dimensions du risque introduites par la nature
non-gaussienne des distributions de rendement
et des dépendances .
Dans une série d’articles, nous avons développé
une théorie du portefeuille reposant sur la caractérisation
des risques par les cumulants de
la distribution des rendements du portefeuille.
Les cumulants, notés cn, s’expriment comme des
combinaisons de moments, et quantifient notamment
l’écart à la gaussienne. De même que les
moments, les cumulants n’existent pas tous pour
les distributions Parétiennes mais sont définis à
tout ordre pour les distributions exponentielles
étirées. En particulier, les cumulants d’ordres un
et deux sont respectivement la moyenne et la variance
des rendements, tandis que les cumulants
d’ordre trois et quatre (après normalisation par
l’écart type) permettent de définir la skewness
et la kurtosis. De façon générale, les cumulants
d’ordres pairs quantifient des risques d’autant plus
grands que l’ordre du cumulant considéré est
élevé, tandis que les cumulants d’ordres impairs
caractérisent la dissymétrie entre les queues positives
et négatives de la distribution des rende-
ments. Plus l’ordre n du cumulant cn considéré
est grand, plus celui-ci accorde d’importance aux
événements extrêmes. L’ordre n des cumulants allant
de 1 à l’infini, varier n revient à étaler ou
développer toutes les dimensions du risque : les
“petits” risques quantifiés par c2 et les “grands”
risques quantifiés par c4 et les cumulants d’ordres
plus élevés.
Notre théorie du portefeuille utilise les distributions
marginales de la famille des exponentielles
étirées et la dépendance entre actif est décrite par
la copule gaussienne. Si on souhaite créer un portefeuille
qui évite les grands risques, on choisit le
poids des actifs de telle manière que les cumulants
c4, c6, c8, etc. soient tous proches de leur
minimum, tout en laissant libre la variance c2 (petits
risques). Cette approche est très différente de
l’approche standard de Markowitz qui se focalise
sur c2 et de plus construit une frontière efficiente
dans l’espace (rendement-variance).
Petits risques, grands
risques et rendement
Pour illustrer l’impact de la décomposition
des risques en “petits” et “grands” risques,
considérons le cas simple d’un portefeuille avec
seulement deux actifs : l’action Chevron et la devise
malaise : le Ringgit. Ces deux actifs ont des
caractéristiques très différentes et illustrent admirablement
un effet surprenant a priori. La figure 1a
montre le rendement quotidien d’un portefeuille
dont la proportion w1, investie dans l’action Chevron,
a été obtenue en minimisant la variance. La
figure 1b donne la solution de la minimisation de
cn vis-à-vis du poids w1. Les lignes des points
horizontaux sont les valeurs maximales du rendement
quotidien dans le cas où l’on optimise c2n,
pour n>1. Les rendements quotidiens pour le portefeuille
de la figure 1b surpassent ces limites,
i.e. le portefeuille de la figure 1a subit plus de
fluctuations de grandes amplitudes.Ces deux figures
illustrent clairement le fait que minimiser
des petits risques peut faire augmenter les grands
risques ! De plus, le gain cumulatif de la figure 1c
montre que le portefeuille de la figure 1b voit son