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350 10. La mesure du risque
ce qui montre qu’un tel agent commence par calculer l’utilité minimale que peut lui procurer l’actif X,
soit u(x1), puis il ajoute les accroissements possibles de l’utilité u(xk) − u(xk−1) qu’il peut recevoir en
les pondérant non pas par leur probabilités d’occurence mais par sa fonction de distorsion des probabiltés.
Ainsi, lorsque ϕ(x) ≤ x, il sous-estime la probabilité d’événements favorables et sous-pondère les
accroissements d’utilité qu’il peut en retirer.
10.1.3 Théorie de la décision face à l’incertain
Nous venons d’exposer les bases de la théorie de la décision face au risque, c’est-à-dire lorsque le
décideur connait de façon objective les probabilités associées aux différents états de la nature Ω. Cependant,
dans la plupart des situations économiques et financières, celles-ci ne sont que partiellement
révélées voire totalement inconnues. Il convient donc de s’intéresser à cette situation, qualifiée de théorie
de la décision dans l’incertain, par opposition à la théorie de la décision face au risque, où l’on suppose
données les probabilités sur les états de la nature.
L’approche classique (ou bayésienne) de ce problème est celle de Savage (1954) qui consiste à réduire
le problème de décision dans l’incertain à un problème de décision face au risque, à l’aide de la notion
de probabilités subjectives. Ces probabilités, dites subjectives, diffèrent des probabilités objectives de
la même manière que les courses de chevaux diffèrent du jeu de roulette au casino : à la roulette, la
table étant parfaitement équilibrée, tous les joueurs connaissent la probabilité que sorte le trois, rouge,
impair et passe, alors qu’au tiercé, nul ne connaît avec exactitude la probabilité que tel ou tel cheval a de
l’emporter.
De plus, les probabilités objectives ont une interprétation très simple dans la mesure où elles sont reliées
à la fréquence typique d’occurrence d’un événement. En effet, la probabilité d’obtenir face en jetant une
pièce parfaitement équilibrée est de un demi, tout simplement parce ce qu’en répétant un grand nombre
de fois ce lancer de pièce, on observe que celle-ci tombe sur face la moitié du temps, et ce quelle que
soit la personne effectuant les lancers. Donc, la probabilité objective est une propriété intrinsèque de
l’objet (ici, la pièce) ou de l’événement (ici, tomber sur face) considéré. Au contraire, les probabilités
subjectives mesurent un degré de croyance en la vraisemblance d’un événement. Quelle est la probabilité
qu’existe une vie extra-terrestre ? Nous ne pouvons pas faire d’expériences à ce sujet. Donc, la probabilité
accordée à ce type d’événement ne peut être que fonction de l’opinion de chacun sur la question.
Ainsi une probabilité subjective n’a pas une valeur unique et dépend de chaque individu. Pour autant, ces
probabilités subjectives obéissent aux mêmes règles que les probabilités objectives en vertu du théorème
du “ dutch book” (de Finetti 1937). Selon ce théorème, tout pari basé sur un ensemble de probabilités
subjectives est équitable (et ne peut donc conduire à un gain certain) si et seulement si la probabilité subjective
attribuée à un événement certain vaut un, ainsi que la somme des probabilités de deux événements
complémentaires.
Moyennant cette nouvelle interprétation des probabilités, les problèmes de décision dans l’incertain
peuvent être ramenés à de “simples” problèmes de décision face au risque, ce qui, outre l’axiome de
préordre total, repose selon Savage (1954), sur l’axiome suivant :
AXIOME 5 (PRINCIPE DE LA CHOSE SÛRE)
Etant donné un sous-ensemble ˜ Ω ∈ Ω de l’ensemble des états de la nature et des actifs X, X ′ , Y, Y ′ ∈ B
tels que ∀ω ∈ ˜ Ω, X(ω) = X ′ (ω), Y (ω) = Y ′ (ω) et ∀ω ∈ ˜ Ω, X(ω) = Y (ω), X ′ (ω) = Y ′ (ω), alors
X Y ⇐⇒ X ′ Y ′ . (10.12)
Ceci signifie qu’une modification commune de la partie commune de deux actifs ne modifie pas l’ordre