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7.2. Quelques familles de copules 185
Par construction même, les copules de Student et la copule gaussienne sont très proches dans leur région
centrale, et l’on observe que le domaine où ces deux copules sont quasiment identiques s’étend de plus
en plus au fur et à mesure que le nombre de degrés de liberté de la copule de Student augmente. En
conséquence, il est parfois délicat de les distinguer, même avec des tests assez fins. Or, nous verrons plus
loin en détail que la confusion entre ces deux copules à des conséquences importantes pour l’étude des
risques extrêmes.
Enfin, signalons que ces copules présentent en outre l’intérêt d’être aisément synthétisables, ce qui est
très utile en pratique pour la simulation numérique ou l’étude de scénarii. En effet, il est facile de générer
des variables aléatoires gaussiennes ou de Student, ce qui, après un changement de variable (croissant),
permet d’obtenir les distributions marginales recherchées tout en conservant la copule inchangée.
7.2.2 Les copules archimédiennes
Les copules d’Archimède revêtent un intérêt tout particulier dans la mesure où un très grand nombre de
copules appartiennent à cette classe, qui de plus jouit d’un certain nombre de propriétés intéressantes. En
outre, comme souligné par Frees et Valdez (1998), nombre de modèles - essentiellement issus du domaine
de l’assurance - visant à rendre compte de la dépendance entre diverses sources de risques conduisent
à des copules archimédiennes. Une exception notable cependant est celle des modèles à facteurs, qui
jouent un rôle fondamental dans la description phénoménologique de l’interaction entre actifs financiers,
et dont les copules archimédiennes ne suffisent à rendre compte.
Avant d’aller plus loin, commençons par définir ce qu’est une copule archimédienne :
DÉFINITION 4 (COPULE ARCHIMÉDIENNE)
Soit ϕ une fonction continue, strictement décroissante de [0, 1] dans [0, ∞] et telle que ϕ(1) = 0. Soit
ϕ [−1] le pseudo-inverse de ϕ :
ϕ [−1]
ϕ−1 (t), si 0 ≤ t ≤ ϕ(0) ,
(t) =
(7.6)
0, si t ≥ ϕ(0) ,
alors la fonction
est une copule dite archimédienne de générateur ϕ.
C(u, v) = ϕ [−1] (ϕ(u) + ϕ(v)) (7.7)
On remarque donc que cette classe de copules est particulièrement simple dans la mesure où toute la
complexité de la structure de dépendance, décrite de manière générale par une fonction de deux (ou N)
variables, est totalement contenue dans l’expression du générateur ϕ, qui n’est qu’une fonction d’une
seule variable. On passe ainsi d’un problème multidimensionnel - et donc généralement délicat - à un
problème unidimensionnel, et ainsi beaucoup plus simple.
Parmi les nombreux membres de cette famille, citons par exemple la copule de Clayton :
Cθ(u, v) = max u θ + v θ
−1/θ
− 1 , 0 , (7.8)
mais aussi la copule de Gumbel, qui joue un rôle particulier pour la description de la dépendance dans la
théorie des valeurs extrêmes :
Cθ(u, v) = exp − (− ln u) θ + (− ln v) θ 1/θ
, (7.9)