statistique, théorie et gestion de portefeuille - Docs at ISFA

346 10. La mesure du risque
C’est pour rendre compte de cette deuxième catégorie de risques que nous proposons une autre approche
dans laquelle il est fait usage des moments de la distribution des rendements d’un actif pour quantifier le
risque associé aux fluctuations de cet actif.
10.1 La théorie de l’utilité
Notre objectif dans ce paragraphe est de passer en revue les avancées récentes de la théorie de la décision,
dont on sait qu’elle joue un rôle très important en économie et en finance au travers de la notion d’utilité.
Notre présentation ne fait qu’effleurer la surface de ce vaste problème et nous renvoyons le lecteur à
l’article de Cohen et Tallon (2000) notamment pour de plus amples détails.
10.1.1 Théorie de l’utilité en environnement certain
La théorie de l’utilité trouve ses fondements dans le courant de pensée sociale développé de la fin du
18ème siècle au milieu du 19ème par J. Bentham et J.S. Mill, fondateurs de la philosophie de l’utilitarisme
1 et selon laquelle on doit juger une action à ses résultats et conséquences sur le bien-être des
individus. En cela, l’utilitarisme s’oppose farouchement au rigorisme moral prôné, à la même époque,
par Kant, pour qui la valeur d’une action ne peut se juger qu’à l’aune des principes et intentions qui en
sont à l’origine.
Loin de ces querelles philosophiques, les économistes se sont rapidement emparés du principe selon lequel
les individus agissent en vue de maximiser leur bien-être et en ont fait le moteur des comportements
individuels des agents économique. On peut d’ailleurs faire remonter à Adam Smith (1776) l’introduction
de la notion d’utilité en économie du fait de la distinction qu’il introduit entre les concepts de “valeur
à l’échange” (le prix) et de “valeur à l’usage” (l’utilité) d’un bien et qui sont à la base de la loi de l’offre
et de la demande et de la notion d’équilibre de marchés. La formalisation mathématique de la théorie de
l’utilité n’interviendra que près de deux siècles plus tard et repose (en univers certain) sur deux axiomes
simples décrivant les capacités des agents à déterminer leurs préférences.
Considérons à partir de maintenant, l’ensemble B des actifs financiers (ou plus généralement des biens)
accessibles aux agents économiques, et postulons deux axiomes simples, un axiome de comparaison et
un axiome de continuité :
AXIOME 1 (COMPARABILITÉ)
Un agent économique est capable d’établir une préférence entre tous les actifs de B. Cela revient à dire
qu’il existe un préordre complet “l’actif X est préféré à l’actif Y ”, notée X Y , entre tous les actifs
X, Y ∈ B.
AXIOME 2 (CONTINUITÉ)
La relation d’ordre est continue. Cela signifie qu’étant donné trois actifs X, Y, Z ∈ B il existe toujours
deux reéls α, β ∈]0, 1[ tels que d’une part, le portefeuille composé d’une proportion α de l’actif X et
(1 − α) de l’actif Y est strictement préféré à l’actif Z et d’autre part, l’actif Z est strictement préféré au
portefeuille composé d’une proportion β de l’actif X et (1 − β) de l’actif Y :
α X + (1 − α) Y ≻ Z et Z ≻ β X + (1 − β) Y. (10.1)
1 En toute rigueur les prémices de la philosophie de l’utilité remontent plutôt à la fin du 17ème siècle avec Hobbes puis avec
Helvétius au début 18ème (voire, si l’on veut aller aussi loin dans le temps à Epicure).