statistique, théorie et gestion de portefeuille - Docs at ISFA

7.3. Tests empiriques 187
Y
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
Copule Gaussienne
−5
−5 −4 −3 −2 −1 0
X
1 2 3 4 5
Y
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
Copule de Student
−5
−5 −4 −3 −2 −1 0
X
1 2 3 4 5
FIG. 7.1 – Représentation des réalisations de deux variables aléatoires dont les marginales sont gaussiennes
et la copule est soit gaussienne (figure de gauche) soit de Student avec trois degrés de liberté
(figure de droite), le coefficient de corrélation étant le même : ρ = 0.8.
que la copule gaussienne est obtenue de manière naturelle à partir du principe de maximum d’entropie 7 .
En outre, cette copule est sans doute la copule la plus simple de la classe des copules elliptiques, puisqu’elle
est entièrement spécifiée par son seul coefficient de corrélation et ne dépend donc que d’un seul
paramètre, contrairement à la copule de Student, par exemple, qui est aussi fonction d’un certain nombre
de degrés de liberté. Ainsi, la copule gaussienne semble être un point de départ logique pour l’étude de la
dépendance entre actifs et nous avons donc choisi de tester sa capacité à rendre compte des données (voir
Malevergne et Sornette (2001b), présenté au chapitre suivant). Les tests ont été conduits sur différents
types d’actifs : des actions, des taux de change et des matières premières (métaux). Pour ces deux derniers,
la copule gaussienne ne semble pas une très bonne approximation. En fait, pour les métaux, elle est
quasi systématiquement rejetée, tandis que pour les monnaies la situation est plus complexe. Il semble
en effet que pour les monnaies pour lesquelles n’existe pas de mécanisme de régulation de la parité l’hypothèse
de copule gaussienne soit raisonnable alors que dans le cas contraire (cf. les monnaies des pays
membres du SME) cette hypothèse est fortement rejetée, ce qui, somme toute, est parfaitement cohérent.
Pour ce qui est des actions, la copule gaussienne semble fournir une bonne approximation, y compris
pour des actions appartenant à un même secteur d’activité.
D’autres tests paramétriques ont été menés par Klugman et Parsa (1999) sur des données touchant aux
domaines de l’assurance, où il semble que la famille des copules de Frank soient à même de rendre
compte de la dépendance pour ce genre de données. Patton (2001) s’est quant à lui intéressé plus en
détail à la dépendance entre taux de change, et conclut que la copule gaussienne n’est pas la mieux
adaptée. Au contraire, la copule de Clayton fournit une meilleure description des données.
En fait, une des limites des tests que nous avons conduits sur les copules gaussiennes est de ne pas
pouvoir distinguer une copule de Student d’une copule gaussienne dès lors que le nombre de degrés
de liberté de celle-là devient trop grand. Typiquement, lorsque le nombre de degrés de liberté dépasse
quinze ou vingt, les tests que nous avons utilisés ne sont plus capables de distinguer entre ces deux types
de copules. Ceci n’est pas très grave tant que l’on ne s’occupe que des événements “normaux” et pas des
événements extrêmes. En effet, comme nous l’avons déjà signalé, les copules de Student et les copules
gaussiennes sont très semblables dans leur cœur, et ce n’est que lorsque l’on s’en éloigne que l’on devient
7 Pour d’autres exemples de détermination de distributions à l’aide du principe de maximum d’entropie, voir notamment
Rockinger et Jondeau (2002)