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7.2. Quelques familles de copules 183
actuarielles.
Commençons par rappeler les propriétés mathématiques que vérifient les copules :
DÉFINITION 1 (COPULE)
Une fonction C : [0, 1] × [0, 1] −→ [0, 1] est une copule si elle satisfait les propriétés suivantes :
– ∀u ∈ [0, 1], C(1, u) = C(u, 1) = u ,
– ∀ui ∈ [0, 1], C(u1, u2) = 0 si au moins un des ui est nul,
– C est croissante dans le sens où le C-volume de chaque rectangle dont les sommets se situent dans
[0, 1] 2 est positif.
Cela signifie simplement qu’une copule n’est rien d’autre qu’une distribution multivariée dont les distributions
marginales sont uniformes. Leur principal intérêt provient en fait du théorème de représentation
de Sklar (1959), qui stipule que toute distribution multivariée peut être exprimée comme une fonction de
ses marginales :
THÉORÈME 1 (SKLAR (1959))
Etant donné deux variables aléatoires X et Y dont la fonction de distribution est notée F et dont les
distributions marginales sont FX et FY , il existe une copule C : [0, 1] 2 −→ [0, 1] telle que :
F (x, y) = C(FX(x), FY (y)) . (7.1)
Dans le cas où les distributions marginales des variables X et Y sont continues, cette copule est unique
et C(·, ·) est alors la copule du couple de variables aléatoires (X, Y ). Bien évidemment, ce théorème
s’étend au cas d’un nombre quelconque de variables aléatoires. Une de ces conséquences immédiates est
que la fonction F (FX −1 (x), FY −1 (y)) est une copule, et plus précisément la copule de (X, Y ). Donc,
partant de n’importe quelle distribution jointe, il est aisé d’en dériver une copule. C’est une des méthodes
les plus employées pour construire des copules.
Enfin, cela permet aisément de comprendre que la copule de deux variables aléatoires est invariante par
changement de variable strictement croissant, ce qui est démontré dans Lindskog (2000) notamment.
Ce résultat est particulièrement important car il justifie que la copule est une mesure intrinsèque de
la dépendance entre variables aléatoires. En effet, par changement de variable strictement croissant,
l’ancienne et la nouvelle variable sont comonotones. Or, il est naturel de requérir d’une mesure de la
dépendance entre deux variables aléatoires qu’elle soit indifférente à la substitution par une variable
comonotone : si X et X ′ sont deux variables comonotones, il est normal que la structure de dépendance
entre (X, Y ) d’une part et (X ′ , Y ) d’autre part soit la même. C’est exactement ce que traduit ce théorème
et dont rend compte la copule. Bien entendu, des quantités telles que le coefficient de corrélation, qui
sont fonction à la fois de la copule et des marginales, ne sont pas invariantes par une telle transformation
et ne constituent donc pas des mesures de la seule dépendance.
En résumé, les copules sont des objets permettant de décrire de manière complète et généralement unique
les propriétés de dépendance entre deux variables aléatoires. En cela, elles autorisent l’étude séparée des
distributions marginales de chaque actif financier et de leur dépendance, ce qui va être le point auquel
nous allons nous intéresser maintenant. Mais avant cela, nous allons présenter quelques copules d’usage
courant dont nous aurons à traiter dans la suite.
7.2 Quelques familles de copules
Comme nous l’avons indiqué après avoir rappelé le théorème de Sklar (1959), il est possible de dériver
une copule de toute distribution multivariée. Leur nombre est donc considérable. Cependant quelques co-