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1.3. Modélisation des propriétés de dépendance des rendements 29
été abandonnées en raison de leur incapacité à rendre compte de la mémoire longue de la volatilité et
notamment des bouffées de volatilité. En effet, par construction, les marches aléatoires à incréments
indépendants ne présentent aucune dépendance de volatilité tandis que la fonction d’auto-corrélation des
processus ARMA décroît de manière exponentielle (voir Gouriéroux et Jasiak (2001) par exemple) et
non de manière algébrique. Une alternative aux processus ARMA est fournie par les processus ARIMA
fractionnaires (Granger et Joyeux 1980, Hosking 1981) qui présentent des corrélations à longues portées
mais dont l’usage n’est pas bien adapté à la modélisation de la volatilité.
La première réelle ébauche de solution a en fait été proposée par Engle (1982) et les modèles autorégressifs
conditionnellement hétéroskédastiques (ARCH) qui furent ensuite généralisés par Bollerslev
(1986) avec les modèles GARCH. Dans cette famille de modèles, les rendements sont décomposés
comme un produit :
rt = σt · εt, (1.2)
où la volatilité σt suit un processus auto-régressif et εt est un bruit blanc indépendant de σt, ce qui assure
l’indépendance des rendements à des dates successives. Dans un modèle ARCH, la volatilité présente σt
ne dépend que des réalisations passées des rendements rt−1, rt−2, · · · alors que pour un modèle GARCH,
elle est aussi fonction des volatilités passées σt−1, σt−2, · · ·. En pratique, le modèle GARCH possède un
indéniable avantage sur le modèle ARCH car il est beaucoup plus parcimonieux : prendre en compte la
dernière volatilité et les deux derniers rendements (et donc trois paramètres) est en général suffisant alors
que pour un modèle ARCH, il n’est pas rare de devoir considérer les dix ou quinze derniers rendements
réalisés.
Du point de vue de l’adéquation vis-à-vis des faits stylisés, ces processus permettent de rendre compte
de la lente décroissance de l’auto-corrélation de la volatilité, ce qui était leur premier objectif et du retour
à la moyenne. De plus, on peut monter facilement (voir Embrechts et al. (1997) par exemple) à l’aide de
la théorie des équations de renouvellement stochastique (Kesten 1973, Goldie 1991) que la distribution
marginale des rendements est à variation régulière.
Une des limites de cette modélisation est de ne pas rendre compte convenablement de la lente décroissance
de la corrélation du logarithme de la volatilité, de la multifractalité 6 ni de l’effet de levier. Cependant,
ce dernier point peut être corrigé en considérant le modèle EGARCH de Nelson (1991) qui n’est
rien d’autre qu’un processus GARCH sur le logarithme de la volatilité et non la volatilité elle-même ou
encore les modèles TARCH de Glosten, Jagannanthan et Runkle (1993) et Zakoian (1994) qui sont de
modèles GARCH à seuil. Nous n’irons pas plus avant dans la description de la vaste famille des modèles
ARCH et de leur généralisation et nous renvoyons le lecteur aux nombreux articles de revues et livres
sur le sujet dont notamment Bollerslev, Chou et Kroner (1992), Bollerslev, Engle et Nelson (1994) et
Gouriéroux (1997).
La seconde alternative a été présentée plus récemment par Bacry, Delour et Muzy (2001) qui ont développé
un processus de marche aléatoire multifractale (MRW), processus en temps continu infiniment logdivisible
(Bacry et Muzy 2002, Muzy et Bacry 2002). Comme dans un processus EGARCH, c’est ici le
logarithme de la volatilité qui est modélisé. Ce processus est en fait un processus gaussien stationnaire
dont l’auto-corrélation du logarithme de la volatilité est spécifiée de sorte qu’elle décroisse proportionnellement
au logarithme du décalage entre les volatilités, ce qui est un des faits stylisés présentés plus
haut et dont ne rendait pas compte les modèles (G)ARCH. C’est en fait l’avancée majeure proposée
par ce type de modèle par rapport aux autres processus déjà existant, d’autant qu’il rend compte, par
construction même, des corrélations à longue portée de la volatilité et est l’un des rares processus connus
à satisfaire de manière théorique, et non artificiellement, les contraintes liées à la multifractalité.
6 Sur des échantillons de taille finie, Baviera, Biferale, Mantegna et Vulpiani (1998) ont cependant noté la présence - pure-
ment artificielle - d’une apparente multifractalité.