statistique, théorie et gestion de portefeuille - Docs at ISFA

366 11. Portefeuilles optimaux et équilibre de marché
ces deux mesures de risques sont, à l’heure actuelle, les plus employées. Comme il est légitime de le
penser, l’allocation optimale selon des critères moyenne - VaR ou moyenne - ES est très différente de
celle obtenue selon le critère moyenne variance (Alexander et Baptista 2002), ce dernier n’étant pas à
même de tenir compte des grands risques.
D’un point de vue pratique, l’optimisation selon des critères de VaR est délicate pour deux raisons.
D’une part du fait de sa non convexité, qui impose d’avoir recours à des algorithmes de minimisation
non standards (algorithmes génétiques, par exemple) et d’autre part, son estimation dans un cadre non
- paramétrique est généralement difficile car sensible à la méthode utilisée et grosse consommatrice
de temps de calcul 1 . Aussi des méthodes de calculs approximatifs (Tasche et Tibiletti 2001) basées
notamment sur l’application de la théorie des valeurs extrêmes (Longin 2000, Danielson et de Vries
2000, Consigli, Frascella et Sartorelli 2001) ou des approches paramétriques (Malevergne et Sornette
2002d), prennent tout leur sens. L’Expected-Shortfall présente quant à elle l’avantage de satisfaire aux
contraintes de cohérences 2 de Artzner et al. (1999). Ainsi, elle conduit à des problèmes d’optimisation
bien conditionnés pour lesquels des algorithmes de minimisation particulièrement simples et efficaces
existent (Rockafellar et Uryasev 2002).
11.2.2 Optimisation sous contrainte de fluctuations autour du rendement espéré
Le capital économique n’est pas la seule quantité à minimiser et les fluctuations du portefeuille autour de
son rendement moyen ou de tout autre objectif de rentabilité sont aussi à prendre en compte. La variance
réalise cela, mais elle se focalise uniquement sur les écarts à la moyenne de faibles amplitudes et néglige
donc complètement les grands risques. C’est pourquoi il convient d’utiliser d’autres quantités partageant
certaines des propriétés de la variance mais mettant l’emphase sur les grandes fluctuations. Rubinstein
(1973) fut l’un des premiers à s’intéresser à cette approche, suggérant que les moments centrés d’ordre
supérieur à deux ne devaient être négligés puisqu’ils apparaissent naturellement dans le développement
en série de la fonction d’utilité. Plus récemment, Sornette, Andersen et Simonetti (2000) et Sornette,
Simonetti et Andersen (2000) ont émis l’idée que les cumulants pouvaient aussi fournir d’utiles mesures
de fluctuations, permettant notamment de rendre compte du comportement de certains agents globalement
risquophobes dans le sens où ils cherchent à éviter les grands risques mais sont près à accepter un
certain niveau de petits risques (Andersen et Sornette 2002a, Malevergne et Sornette 2002c). Dans le cas
où les distributions marginales des actifs suivent des lois exponentielles étirées (cf chapitre 3) et où la
copule décrivant leur dépendance est gaussienne (cf chapitres 7 et 8), des expressions analytiques ont pu
être dérivées pour l’expression des moments et cumulants des portefeuilles constitués de tels actifs (voir
chapitre 14).
Ces quelques exemples sont des cas particuliers des mesures de fluctuations définies au chapitre précédent
et permettent de dériver simplement la plupart des propriétés générales des portefeuilles optimaux. Ces
propriétés sont en fait des généralisations immédiates, aux cas des grands risques, des propriétés dont
jouissent les portefeuilles moyenne - variance efficients.
11.2.3 Optimisation sous d’autres contraintes
Lorsque l’on souhaite considérer les risques extrêmes systématiques, c’est-à-dire les mouvements extrêmes
que subissent les actifs conjointement avec le marché, le coefficient de dépendance de queue λ peut
1 Ce point est discuté en détail dans Chabaane, Duclos, Laurent, Malevergne et Turpin (2002)
2 Voir Acerbi et Tasche (2002) pour une discussion des propriétés de cohérence de l’Expected-Shortfall selon la définition
adoptée.