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352 10. La mesure du risque
croissante près) telles que l’utilité de l’actif X est
U(X) =
u(X) dv, (10.15)
qui est une intégrale de Choquet par rapport à la mesure non-additive (capacité) v. On peut noter la
très forte ressemblance de cette expression avec celle obtenue pour l’utilité dépendante du rang (cf
équation (10.10)). En fait, dans (10.10), l’expression ϕ◦P est une capacité. De plus, si dans le modèle de
Schmeidler (1989), il existe une probabilité objective P sur {Ω, F}, la capacité v peut s’exprimer comme
v = ϕ ◦ P, où ϕ est unique et v est convexe si et seulement si ϕ l’est aussi.
Dans le cadre de ce modèle, Montessano et Giovannoni (1996) définissent la notion d’aversion pour l’incertitude,
à savoir qu’un agent présente de l’aversion pour l’incertitude, s’il existe une loi de probabilité
P telle que quelque soit X ∈ B, u(X) dv ≤ EP[u(X)], ce qui implique que le noyau de la capacité
v contient P et est donc non vide. Réciproqement, on peut donc affirmer que tout agent caracterisé par
une capacité convexe (donc à noyau non vide) a de l’aversion pour l’incertitude. Intuitivement, un agent
averse à l’incertitude affectera toujours un événement de la “probabilité” la moins favorable parmi toutes
les probabilités attribuées à cet événement par l’ensemble des lois présentes dans le noyau de la capacité.
Schmeidler (1986) fournit une interpretation de ce modèle en terme de croyances. En effet, sous l’hypothèse
que la capacité v est convexe, son noyau est non vide et
∀X ∈ B,
u(X) dv = min
P∈core(v) EP[u(X)], (10.16)
donc l’utilité U(X) est donnée par l’espérance minimale de u(X) calculée sur un ensemble de scénarii.
Ceci a conduit Gilboa et Schmeidler (1989), Nakamura (1990), Chateauneuf (1991) ou encore Casadesus-
Masanell, Klibanoff et Ozdenoren (2000) à développer des modèles dits multi-prior, où les agents se
donnent, a priori, un ensemble de distributions de probabilités P (ou scénarii) et définissent l’utilité
comme
∀X ∈ B, U(X) = min
P∈P EP[u(X)]. (10.17)
Il faut bien remarquer que les deux approches ne sont pas équivalentes, car tout ensemble (fermé et
convexe) P n’est pas nécessairement le noyau d’une capacité v. De plus, cette dernière approche peut
paraitre excessivement pessimiste puisqu’elle ne retient que la plus petite utilité possible, vu l’ensemble
de scénarii considérés. En tout cas, elle est beaucoup plus pessimiste que l’utilité dérivée du modèle de
Schmeidler (1986) puisque Jaffray et Philippe (1997) ont montré que l’intégrale de Choquet pouvait toujours
s’exprimer comme la somme pondérée de deux termes : le minimum et le maximum de l’espérance
d’utilité par rapport à un ensemble de distributions de probabilité, le poids relatif de ces deux termes
permettant de définir un indice de pessimisme de l’agent.
Cependant, malgré les récentes avancées de la théorie de la décision que nous venons de présenter, il
faut reconnaitre qu’une de ses limitations fondamentales demeure, à savoir comment mettre en œuvre
concrètement et pratiquement cette théorie. En effet, dans la mesure où chaque agent possède une fonction
d’utilité différente, il est très difficile de décider de manière objective laquelle employer. Donc, il va
s’avérer utile de considérer d’autres outils de décision et d’autres moyens de mesurer les risques.