statistique, théorie et gestion de portefeuille - Docs at ISFA

360 10. La mesure du risque
AXIOME 13 (POSITIVITÉ)
Soit X ∈ G une grandeur risquée, alors ρ(X) ≥ 0. De plus, ρ(X) = 0 si et seulement si X est non
risquée (ou certain).
En particulier, tout actif sans risque a une mesure de fluctuation égale à zéro, ce qui est bien naturel. De
plus, l’ajout d’une quantité certaine à une valeur risquée ne modifiant en rien les fluctuations de cette
dernière, nous devons avoir :
AXIOME 14 (INVARIANCE PAR TRANSLATION)
∀X ∈ G et ∀µ ∈ R, ρ(X + α) = ρ(X). (10.43)
Enfin, nous demandons que la mesure de fluctuation soit une fonction croissante, et plus spécifiquement
homogéne, de la taille de la position :
AXIOME 15 (POSITIVE HOMOGÉNÉITÉ)
Il existe une constante β ≥ 1, telle que
∀X ∈ G et ∀λ ≥ 0, ρ(λ · X) = λ β · ρ(X). (10.44)
Dans le cas où β égale un, la mesure de fluctuations est extensive par rapport à la taille de la position
mais ne prend alors pas en compte le risque de liquidité.
Les mesures de fluctuations satisfaisant les axiomes 14 et 15 sont connues sous le nom de semi-invariants.
Ils en existent de très nombreux, parmi lesquels on peut citer par exemples les moments centrés
ou les cumulants
µn(X) = E [(X − E[X]) n ] , (10.45)
Cn(X) = 1
i n · n!
d E eikX
dk
k=0
. (10.46)
L’utilisation des moments centrés comme mesure du risque associé aux fluctuations d’un actif n’est pas
nouvelle. Elle remonte au moins à Markovitz (1959) qui choisit d’utiliser la variance (moment centré
d’ordre deux) comme mesure du risque des actifs financiers. Plus tard, Rubinstein (1973) montrera que
les moments centrés d’ordre supérieur à deux - pour autant qu’ils existent (cf. chapitres 1 et 3) - interviennent
de façon naturelle pour quantifier des risques plus grands que ceux pris en compte par la
variance, en les mettant en relation avec la théorie de l’utilité espérée de von Neumann et Morgenstern
(1947). Dans le cas général, c’est-à-dire pour les cumulants ou pour toute autre mesure de fluctuations,
il ne semble cependant pas que l’on puisse trouver de lien avec la théorie de l’utilité.
L’axiome de positivité permet de restreindre les semi-invariants acceptables. En effet, par définition, les
moments centrés d’ordre pairssont positifs, mais ce n’est pas nécessairement le cas pour ceux d’ordre
impair. La situation est beaucoup plus floue pour ce qui est des cumulants, puisqu’aucun résultat général
ne peut être donné concernant leur positivité. En fait tout dépend de la distribution de la variable aléatoire
X.
Partant des moments centrés, il est en fait facile de construire une mesure de fluctuation qui satisfait les
trois axiomes, quelque soit la valeur de β. En effet, il suffit de considérer les moments absolus centrés :
¯µβ(X) = E |X − E[X]| β
, (10.47)