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184 7. Etude de la dépendance à l’aide des copules
pules ou familles de copules occupent une place plus importante que d’autres et nous allons en présenter
quelques unes.
7.2.1 Les copules gaussiennes et copules de Student
Comme leurs noms l’indiquent ces deux classes de copules sont respectivement issues de la distribution
gaussienne et des distributions de Student. Et, de même que la distribution gaussienne est un cas limite de
distribution de Student, la copule gaussienne est aussi un cas limite de copule de Student. C’est pourquoi
nous traitons ces copules, a priori différentes, dans le même paragraphe. Une autre raison vient de ce
que l’une comme l’autre sont des copules elliptiques, c’est-à-dire des copules dérivées des distributions
elliptiques.
L’intérêt de cette classe de copules vient simplement du fait qu’elle ouvre la voie à la généralisation des
distributions gaussiennes et elliptiques à des distributions dites “méta-gaussiennes” - dont l’introduction
est originellement due à Krzysztofowicz et Kelly (1996) et dont l’intérêt pratique a été démontré par Karlen
(1998) dans le domaine du traitement d’expériences de physique des particules et par Sornette, Simonetti
et Andersen (2000) pour ce qui est de la finance - et “méta-elliptiques” (Fang, Fang et Kotz 2002).
Ces “méta-distributions” possèdent la même structure de dépendance que les distributions gaussiennes
ou elliptiques mais en différent par leurs marginales qui peuvent être quelconques. Or, on sait que les
distributions elliptiques peuvent aisément être obtenues par des modèles à volatilité stochastiques, ce qui
fait des copules elliptiques en général et des copules gaussiennes et de Student en particulier, des copules
tout à fait pertinentes pour la modélisation de la dépendance entre actifs financiers.
Utilisant le théorème de Sklar (1959), on obtient simplement leurs expressions, même s’il n’est pas
possible d’en donner une forme fermée :
DÉFINITION 2 (COPULE GAUSSIENNE)
Soit Φ la distribution gaussienne standard et Φρ,N la distribution Gaussienne en dimension N, dont la
matrice de corrélation est ρ. La copule gaussienne de matrice de corrélation ρ est alors :
et sa densité est donnée par
avec yk(u) = Φ −1 (uk).
Cρ,N(u1, · · · , uN) = Φρ,N(Φ −1 (u1), · · · , Φ −1 (uN)) (7.2)
cρ,N(u1, · · · , uN) =
1
√ exp −
det ρ 1
2 yt (u) (ρ−1
− Id)y (u)
DÉFINITION 3 (COPULE DE STUDENT)
Soit Tν la distribution de Student avec ν degrés de liberté et Tν,ρ,N la distribution de Student avec ν
degrés de liberté en dimension N, dont la matrice de corrélation est ρ. La copule de Student avec ν
degrés de liberté et de matrice de corrélation ρ est alors :
et sa densité est donnée par
avec yk(u) = T −1
ν (uk).
(7.3)
Cρ,ν,N (u1, · · · , uN) = Tν,ρ,N (T −1
ν (u1), · · · , Tnu −1 (uN)) (7.4)
cρ,ν,N (u1, · · · , uN) =
1 Γ
√
det ρ
ν+N ν
2 Γ
ν+1 Γ 2
N−1 2
N
N
k=1
1 + y2 k
ν
1 + yt ρy
ν
ν+1
2
ν+N
2
, (7.5)