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11.2. Prise en compte des grands risques 365
et Kondor 2001). D’autre part, cette influence dépend du rapport r = N/T , où N est le nombre d’actifs
dans le portefeuille et T la taille des séries temporelles ayant servi à estimer la matrice de covariance.
Pafka et Kondor (2002) ont montré que pour un rapport supérieur ou de l’ordre de 0.6, le bruit à une
influence primordiale, alors que pour r inférieur à 0.2, son impact devient négligeable. Ceci implique
qu’il est nécessaire de disposer de séries temporelles dont la longueur est au moins cinq fois supérieure à
la taille du portefeuille considéré. Ainsi, pour un portefeuille d’une centaine d’actifs gérés sur la base de
données journalières, cela requièrt des échantillons de cinq cents points, soit deux années de cotations, ce
qui reste très raisonnable. En revanche, pour un portefeuille d’un millier d’actifs, il faut alors des séries
temporelles de cinq mille points, ce qui représente une vingtaine d’années de cotations, et se posent alors
d’autres problèmes tels que celui de la stationnarité de ces données.
Quand bien même ces problèmes pratiques ne se poseraient pas, il faut garder à l’esprit que l’approche
moyenne - variance de Markovitz (1959) ne se révèle adaptée que dans l’hypothèse où les actifs sont
conjointement gaussiens ou dans la mesure où les agents forment des préférences quadratiques dans leur
richesse, ce qui dans un cas comme dans l’autre traduit que l’on ne s’intéresse qu’à des risques de faibles
amplitudes. Dès lors que l’on souhaite intégrer d’autre dimension du risque, c’est-à-dire des risques
associés à de grandes pertes ou de grandes fluctuations, il convient de se tourner vers d’autres mesures
de risques que la variance.
11.2 Prise en compte des grands risques
L’utilisation de nouvelles mesures de risques permettant de prendre en compte les grands risques est
nécessaire à l’obtention de portefeuilles moins sensibles que les portefeuilles moyenne - variance aux
grandes variations de cours. Pour cela, nous devons nous intéresser à des mesures de risques accordant
plus d’importance aux événements rares et de grandes amplitudes. De telles mesures ont été présentées
au chapitre précédent, et selon Tasche (2000) et Malevergne et Sornette (2002c) peuvent être divisées en
deux classes :
– premièrement les mesures de risques associées au capital économique pour lesquelles peuvent être
requises des conditions de cohérence (Artzner et al. 1999) ou de convexité (Heath 2000, Föllmer et
Schied 2002a),
– et deuxièmement les mesures des fluctuations du rendement autour de sa valeur espérée (Malevergne et
Sornette 2002c), ce qui historiquement est la première approche à avoir vu le jour puisque la variance
est une mesure de fluctuation et pas une mesure de capital économique.
En fait, ces deux classes ne suffisent pas à englober toutes les mesures de grands risques : en restant dans
un cadre strictement mono - périodique, on peut au moins citer le coefficient de dépendance de queue qui
permet de quantifier les co-mouvements extrêmes entre actifs (Malevergne et Sornette 2002b), ou encore
la “covariance de queue” utilisée par Bouchaud, Sornette, Walter et Aguilar (1998) pour quantifier le
risque d’un portefeuille d’actifs dont les rendements suivent des lois de puissances, généralisant ainsi
l’approche de Fama (1965b) valable uniquement pour des actifs distribués selon des lois stables. Si l’on
s’autorise à considérer des mesures inter - temporelles, les “drawdowns” (Chekhlov et al. 2000), par
exemple peuvent être pris en compte.
11.2.1 Optimisation sous contrainte de capital économique
L’optimisation d’un portefeuille par rapport à des contraintes portant sur le capital économique conduit
naturellement à s’intéresser aux portefeuilles VaR-efficients (Consigli 2002, Huisman, Koedijk et Pownall
2001, Kaplanski et Kroll 2001a) ou Expected Shortfall-efficients (Frey et McNeil 2002). En effet,