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1.1. Rappel des faits stylisés 25
au phénomène d’intermittence observé en turbulence (Frisch 1995). Il caractérise clairement le fait qu’il
existe une certaine dépendance dans les séries financières : la séquence des rendements n’apparaît pas de
manière indépendante. En fait, on constate que la valeur absolue des rendements ou de leurs carrés sont
fortement corrélés et que cette corrélation persiste : la fonction d’auto-corrélation des valeurs absolues
des rendements décroît typiquement comme une loi de puissance dont l’exposant est compris entre 0.2
et 0.4 (Cont, Potters et Bouchaud 1997, Liu, Cizeau, Meyer, Peng et Stanley 1997). Une fois encore,
cela est conforme au principe de non arbitrage, car la volatilité n’étant pas une grandeur signée, elle
ne permet en rien de déduire les rendements futurs. De manière générale, toute fonction de la volatilité
(ou de l’amplitude du rendement) est autorisée à présenter des corrélations temporelles significatives.
Pour quelques exemples voir notamment Cont (2001) mais aussi Muzy, Delour et Bacry (2000), où il est
montré que la corrélation du logarithme de la valeur absolue des rendements décroît comme le logarithme
du décalage temporel entre les rendements considérés et possède donc une mémoire longue.
Ce phénomène de persistance (ou mémoire longue) est caractéristique de la volatilité mais sa mise en
évidence est quelques fois délicate et sujette à caution comme l’ont montré Granger et Teräsvirta (1999),
qui ont construit un processus auto-régressif du premier ordre non-linéaire passant les tests standards de
mémoire longue ou Andersson, Eklund et Lyhagen (1999) qui ont prouvé le contraire, c’est-à-dire qu’un
processus à mémoire longue pouvait passer les tests de linéarité.
Pour en terminer avec les exemples sur les corrélations temporelles, il convient de citer l’effet de levier
mis en évidence par Black (1976) puis Christie (1982) et Bouchaud, Matacz et Potters (2001) notamment,
et que l’on rencontre pour les rendements d’actions et les taux d’intérêt mais pas les taux de change.
Cet effet de levier se traduit par une corrélation négative entre la volatilité à un instant donné et les
rendements antérieurs, ce qui signifie que les mouvements de prix à la baisse ont tendance à entraîner
une augmentation de la volatilité. Il semble d’ailleurs que cet effet de levier soit à l’origine de la cascade
causale observée par Arnéodo, Muzy et Sornette (1998) sur les marchés d’actions 4 .
En résumé, de par la contrainte de non arbitrage, il est impossible d’observer des corrélations significatives
entre des fonctions des variables passées et les rendements futurs qui permettraient de prédire ces
derniers. En revanche, il est tout à fait possible d’observer - et c’est effectivement le cas - d’importantes
corrélations entre des fonctions des variables passées et la volatilité future, ceci ne permettant pas de
réaliser de prédiction sur les rendements.
Enfin, outre l’existence de fortes dépendances entre volatilité future d’une part, et volatilité et rendements
passés d’autre part, il convient de remarquer que globalement, celle-ci a tendance à retourner à un niveau
moyen, que l’on peut interpréter comme son niveau “normal”. Ce phénomène de retour à la moyenne
est bien observé lorsque l’on s’intéresse à la volatilité prédite par la plupart des modèles usuels : lorsque
l’horizon de prévision augmente, on constate que la volatilité tend vers une même valeur moyenne (voir
Engle et Patton (2001) par exemple). Il est alors très intéressant d’étudier le mode de relaxation de la
volatilité vers son niveau moyen, ce qui a été réalisé par Sornette, Malevergne et Muzy (2002) et dont
nous parlerons un peu plus en détail dans un paragraphe ultérieur.
1.1.3 Autres faits stylisés
Les faits stylisés précédemment évoqués sont les faits stylisés principaux universellement admis. Ce sont
ceux dont doit au moins rendre compte tout modèle de cours réaliste. Cela peut sembler peu, mais en fait,
il est déjà assez difficile de trouver de manière ad hoc des processus satisfaisant ces quelques restrictions.
Nous en donnerons quelques exemples dans la suite de ce chapitre. A coté de ces grands faits stylisés,
existent plusieurs autres caractéristiques importantes dont notamment la dissymétrie gains/pertes pour
4 Cette interprétation nous a été suggérée par J.F. Muzy lors d’une conversation privée.