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10.1. La théorie de l’utilité 347
Moyennant ces deux axiomes et quelques hypothèses à caractère purement technique que nous omettons,
il est possible de montrer qu’il existe une fonction dite fonction d’utilité telle que :
DÉFINITION 5 (FONCTION D’UTILITÉ)
La relation de préférence sur l’ensemble des actifs B peut être représentée par une fonction d’utilité
U : B → R, telle que :
∀(X, Y ) ∈ B 2 , X Y ⇐⇒ U(X) ≥ U(Y ). (10.2)
Cette définition signifie simplement que l’actif X est préféré à l’actif Y si et seulement si l’utilité (ou
valeur à l’usage) de l’actif X est supérieure à l’utilité de l’actif Y . Bien évidemment, la fonction d’utilité
n’est pas unique, puisque pour toute fonction g : R → R strictement croissante, la fonction V = g ◦ U
est aussi une fonction d’utilité. La fonction U ainsi définie n’a donc qu’une valeur ordinale. Si l’on
souhaite pouvoir considérer qu’un accroissement de la fonction d’utilité mesure une augmentation de
la satisfaction de l’agent économique, il faut admettre que la fonction d’utilité a une valeur cardinale,
et elle n’est alors plus définie qu’à une tranformation affine croissante près. Dans toute la suite nous
considérerons uniquement des fonctions d’utilité cardinales.
Si l’on s’intéresse, comme le plus fréquemment, à l’utilité de la richesse W d’un individu, on déduit
aisément du comportement des agents économiques que la fonction U(W ) est croissante, ce qui traduit
l’appât du gain ou insatiabilité, et généralement concave ce qui exprime la décroissance marginale de
l’utilité de la richesse : cent euros ne représentent pas la même utilité pour un agent possédant en tout et
pour tout mille euros ou un million d’euros.
10.1.2 Théorie de la décision face au risque
Considérons maintenant que l’on s’intéresse au comportement des agents économiques à l’égard d’actifs
dont la valeur future n’est pas parfaitement connue et dépend, à l’instant futur T , de l’état de la nature
dans lequel se trouvera l’univers en T . Nous sommes alors confrontés à un problème de décision en
univers risqué. Le premier exemple de résolution d’un tel problème remonte à Daniel Bernoulli (1738)
qui apparaît comme le précurseur de l’introduction de l’utilité espérée, dont il fit usage pour résoudre le
célèbre paradoxe de Saint-Pétersbourg.
Dans ce paradoxe, un individu se voit offrir la possibilité de jouer au jeu suivant : on lance une pièce
parfaitement équilibrée autant de fois que nécessaire pour voir le coté pile apparaître. A ce momentlà,
le jeu s’arrête et le joueur reçoit 2 n euros, n étant le nombre de fois que la pièce a été lancée. La
question est alors de savoir combien est prêt à payer l’individu pour pouvoir participer à ce jeu. Un
simple calcul d’espérance mathématique montre qu’en moyenne ce jeu offre un gain infini 2 . Donc, pour
être équitable, le joueur devrait accepter de payer une mise sinon infinie, du moins colossale. Or en
réalité, on observe que les joueurs n’acceptent guère de payer plus de quelques euros pour participer au
jeu, d’où le paradoxe.
La solution proposée par Bernoulli (1738) consiste à supposer que les joueurs ne s’intéressent pas à la
valeur moyenne des gains espérés mais plutôt à l’espérance du logarithme des gains, et l’on obtient alors :
∞
2 −n ln (2 n ) = 2 ln 2. (10.3)
n=1
Donc, pour reprendre la terminologie d’Adam Smith, les joueurs ne s’intéresse pas à la “valeur à l’échange”
- ici les gains espérés - du jeu, mais plutôt à sa “valeur à l’usage” et donc à l’espérance du logarithme
2 n 1 n.
La probabilité de gagner 2 euros est égale à la probabilité d’obtenir n fois de suite le coté face de la pièce, soit 2