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188 7. Etude de la dépendance à l’aide des copules
sensible à la différence. Concrètement, la distinction essentielle entre ces deux familles provient du fait
que les copules gaussiennes produisent des événements extrêmes indépendants tandis que les copules de
Student produisent des événements extrêmes concomitants avec une probabilité non nulle, celle-ci étant
d’autant plus importante que le nombre de degrés de liberté de la copule est faible et que la corrélation
est importante. Ceci est clairement illustré par la figure 7.1. où l’on a représenté les réalisations de deux
variables aléatoires dont les marginales sont gaussiennes et la copule est soit gaussienne soit de Student
avec trois degrés de liberté, le coefficient de corrélation étant le même : ρ = 0.8.
Pour quantifier cette propension des extrêmes à se produire simultanément, il est commode d’introduire
le coefficient de dépendance de queue λ défini comme la probabilité que l’une des variables, X par
exemple, soit extrême conditionnée au fait que l’autre variable, Y , soit elle-même extrême. Ceci nous
conduit à la définition mathématique suivante :
λ = lim
u→1 Pr{X > FX −1 (u) | Y > FY −1 (u)} (7.11)
= lim
u→1
1 − 2u + C(u, u)
, (7.12)
1 − u
qui démontre que le coefficient de dépendance de queue n’est fonction que de la copule et non des
marginales.
Dans le cas de la copule gaussienne, il est démontré que la dépendance de queue est nulle pour toute
valeur du coefficient de corrélation (différent de un), tandis que pour les copules de Student, elle dépend
à la fois de la corrélation et du nombre de degrés de liberté. Dans le premier cas, on dit que les extrêmes se
produisent asymptotiquement indépendamment alors que dans le second cas ils sont asymptotiquement
dépendants. Cette différence de comportement est illustrée sur la figure 7.1, où dans le cas de la copule
de Student on remarque que les points se répartissent à l’intérieur de fuseaux de plus en plus étroits au fur
et à mesure que l’on considère les réalisations de plus en plus extrêmes. On observe que ce phénomène
se produit non seulement dans les quadrans inférieur-gauche et supérieur-droit, mais aussi dans les deux
autres quadrans, ce qui vient du fait que le coefficient de dépendance de queue n’est pas nul pour les
coefficients de corrélation négatifs (voir figure 1 dans Malevergne et Sornette (2001b) page 214).
L’utilisation du coefficient de dépendance de queue nous a permis d’estimer le risque potentiel qu’il y
a à considérer une modélisation en terme de copule gaussienne, et il s’avère que pour des corrélations
élevées entre actifs il est dangereux d’utiliser cette représentation tant que l’on n’a pas d’idée plus précise
sur la dépendance de queue, quantité à laquelle ne nous donne pas accès les tests paramétriques. En effet,
choisir une forme paramétrique de la copule revient à fixer a priori l’existence ou non de dépendance de
queue et ne permet donc pas de trancher cette question. Donc, pour aller plus avant, une approche non
paramétrique pourrait s’avérer utile.
7.3.2 Tests non paramétriques
Les tests non paramétriques ont, par rapport aux tests paramétriques, l’avantage d’être beaucoup plus
généraux puisqu’ils ne conduisent pas à imposer a priori de modèle. Donc, on peut espérer qu’ils apporteront
une réponse au problème auquel nous sommes désormais confrontés. Diverses méthodes d’estimation
non paramétriques ont vu le jour. Citons notamment les approches basées sur l’estimation à
l’aide de familles de polynômes, tels les polynômes de Bernstein (Li, Mikusinski et Taylor 1998), et que
Durrleman, Nikeghbali et Roncalli (2000) passent en revue. Citons encore les méthodes s’appuyant sur
des estimateurs à noyau, telle celle développée par Scaillet (2000b).
Toutes ces méthodes ont l’avantage de produire des copules estimées qui sont lisses et dérivables en
tout point, ce qui présente un grand nombre d’avantages lorsque l’on souhaite les réemployer à des