statistique, théorie et gestion de portefeuille - Docs at ISFA

10.3. Les mesures de fluctuations 359
Pour prendre en compte le risque de liquidité, Heath (2000) et Föllmer et Schied (2002a) proposent
de rejeter l’axiome d’homogénéité. Moyennant cela, ils définissent un nouvel ensemble de mesures de
risque dites convexes, qui englobent les mesures de risque cohérentes, et pour lesquelles ils donnent un
théorème de représentation :
THÉORÈME 4 (REPRÉSENTATION DES MESURES DE RISQUE CONVEXES)
Une mesure de risque ρ est convexe si et seulement si il existe une famille Q de mesures de probabilité
sur l’espace des états de la nature et une fonctionnelle α sur Q telle que :
où la fonctionnelle α est donnée par
et
ρ(X) = sup
Q∈Q
α(Q) = sup
X∈Aρ
(EQ [−X] − α(Q)) , (10.40)
EQ[−X], (10.41)
Aρ = {X ∈ G | ρ(X) ≤ 0} . (10.42)
Dans l’énoncé du théorème, nous avons omis le facteur d’actualisation, afin d’alléger l’écriture, mais il
peut être réintroduit de manière évidente.
Ici encore, comme souligné par Föllmer et Schied (2002b), le lien avec la théorie de la décision dans
l’incertain est immédiat, et permet d’ancrer ces mesures de risque convexes dans la théorie de l’utilité et
ainsi de leur donner un sens économique très net. Cependant, nous avons vu que cette théorie conduisait
à prendre des décisions extrêmement pessismistes puisqu’elle ne retient que l’utilité minimale que peut
retirer un agent étant donné l’ensemble des situations qu’il considère. Ce même pessimisme excessif
affecte les mesures de risque convexes (et donc cohérentes) puisque là aussi, le gestionnaire n’est sensible
qu’à la plus grande perte qu’il peut subir.
Enfin, il convient de signaler que la mesure du risque en terme de capital économique demeure insuffisante.
Certes elle garantit, avec un certain niveau de confiance déterminé, que le portefeuille ou l’entreprise
évitera la ruine, ce qui est fondamental du point de vue du régulateur, mais si l’on se place du
point de vue du gestionnaire de fond ou d’un éventuel investisseur, cela ne suffit pas. Il faut aussi être
capable de mesurer les fluctuations autour de l’objectif de rentabilité fixé, c’est-à-dire de la richesse du
portefeuille autour de la richesse espérée (ou richesse moyenne). En effet, la qualité d’un portefeuille se
juge aussi à la régularité de ses performances.
10.3 Les mesures de fluctuations
Comme nous venons de l’exposer, la mesure du risque en terme de capital économique, pour nécessaire
qu’elle soit - elle constitue en fait la première des exigences - ne suffit cependant pas. Il semble en
effet tout-à-fait souhaitable de pouvoir mesurer les fluctuations d’un actif ou d’un portfeuille autour
de sa valeur moyenne ou plus généralement autour d’un objectif de rentabilité préalablement établi.
Les qualités du portefeuille seront alors d’autant meilleures que les fluctuations seront plus petites. Il
convient donc de rechercher les propriétés minimales que doit satisfaire une mesure de fluctuation ρ.
Ceci est exposé dans Malevergne et Sornette (2002c) que nous présenterons au chapitre 14 section 1.2,
et dont nous donnons ici un résumé.
En premier lieu, nous requèrons qu’une mesure de fluctuation soit positive :