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186 7. Etude de la dépendance à l’aide des copules
ou encore la copule de Frank :
Cθ(u, v) = − 1
θ ln
1 + (e−θu − 1)(e−θv − 1)
e−θ
. (7.10)
− 1
Notons que les copules gaussiennes ou de Student ne font pas partie de cette famille. En fait, on peut
montrer que toutes les copules archimédiennes sont d’une part associatives 6 , ce que clairement les copules
gaussiennes et de Student ne satisfont pas, et d’autre part leurs valeurs sur la première bissectrice
vérifient C(u, u) < u pour tout u ∈]0, 1[. Réciproquement, on peut démontrer que (Nelsen 1998) toute
copule possédant ces deux propriétés est archimédienne, ce qui donne une idée de la généralité de cette
famille.
Enfin, précisons que Juri et Wüthrich (2002) ont établi, pour cette classe de copules, un théorème limite
équivalent au théorème de Gnedenko - Pikand - Balkema - de Haan (Embrechts et al. 1997, par exemple),
montrant la convergence vers la copule de Clayton (7.8) de la copule de la distribution des excédents de
plusieurs variables aléatoires au-dessus d’un seuil, quand celui-ci tend vers l’infini. Ainsi, la copule de
Clayton joue un rôle similaire (en dimension N) à celui des distributions de Pareto généralisées (un
dimension un). Ceci est particulièrement intéressant lorsque l’on s’intéresse à la statistique multivariée
des extrêmes.
7.3 Tests empiriques
Les tests empiriques visent à déterminer la nature de la copule permettant de décrire la structure de
dépendance entre deux actifs et peuvent être soit paramétriques soit non paramétriques. Cette dernière
méthode est bien évidemment beaucoup plus générale puisqu’elle ne requière pas le choix d’un modèle
a priori, et n’est donc pas sujette à l’erreur de spécification. Cependant, si le modèle est correctement
spécifié, l’estimation paramétrique est beaucoup plus précise. De plus, le petit nombre de paramètres intervenant
dans la description de la copule sélectionnée apparaît alors comme l’ensemble des paramètres
pertinents pour résumer les propriétés de dépendance entre actifs. Que l’on pense, par exemple, à la
représentation gaussienne (ou plus généralement à toute représentation en terme de distribution elliptique)
dont la dépendance est complètement capturée par le coefficient de corrélation linéaire. Ainsi, ces
paramètres vont pouvoir jouer un rôle particulier et il est tentant de les interpréter comme des variables
macroscopiques (ou phénoménologiques) synthétisant l’ensemble des interactions microscopiques entre
les agents économiques dont résulte la dépendance observée. Or, l’identification des “ bonnes variables”
est la première étape de la construction de modèles dont on peut espérer qu’ils seront mieux à même de
rendre compte des phénomènes observés. L’intérêt de l’estimation paramétrique est donc grand et c’est
pour cela que nous nous sommes tout particulièrement focalisés sur cette approche.
7.3.1 Tests paramétriques
Le paradigme gaussien a longtemps été en vigueur en finance. Certes, l’on a vu que les distributions
marginales ne sauraient être modélisées par des distributions gaussiennes dont les queues sont trop fines
pour rendre compte des grandes déviations observées sur les distributions des rendements, mais a priori,
la structure de dépendance entre deux actifs étant fort peu connue, rien ne permet de rejeter le fait que la
copule gaussienne soit à même de décrire correctement cette structure de dépendance. De plus, suivant
une idée initialement développée par Karlen (1998) et Sornette, Simonetti et Andersen (2000), il apparaît
6 Une copule est associative si C(u, C(v, w)) = C(C(u, v), w).