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354 10. La mesure du risque
ce qui signifie simplement que le risque d’une position croît avec la taille de cette position, et plus
précisément, le risque est ici supposé proportionnel à la taille de la position risquée. Nous reviendrons
un peu plus loin sur l’hypothèse sous-jacente que suggère un tel axiome.
Enfin, sachant que dans tous les états de la nature, le risque X conduit à une perte supérieure à l’actif Y
(c’est-à-dire que toutes les composantes du vecteur X de R N sont toujours inférieures ou égales à celles
du vecteur Y ), la mesure de risque ρ(X) doit être supérieure ou égale à ρ(Y ) :
AXIOME 10 (MONOTONIE)
∀X, Y ∈ G tel que X ≤ Y, ρ(X) ≥ ρ(Y ). (10.21)
Ainsi posés, ces quatre axiomes définissent ce que l’on appelle les mesures de risques cohérentes.
10.2.2 Quelques exemples de mesures de risque cohérentes
Beaucoup de mesures de risque communément utilisées aussi bien dans la recherche académique que par
les professionels s’avèrent être non cohérentes au sens de Artzner et al. (1999). En effet, il est évident
que la variance - dont l’utilisation comme mesure de risque remonte à Markovitz (1959) - ne satisfait pas
à l’axiome de monotonie. De même, il est aisé de montrer que la Value-at-Risk n’est généralement pas
sous-additive. Nous rappelons que la Value-at-Risk, calculée au seuil de confiance α est définie par
DÉFINITION 6 (VALUE-AT-RISK)
Soit X ∈ G supposé à distribution continue. La Value-at-Risk, calculée au seuil de confiance α ∈ [0, 1]
et notée VaRα est
Pr[X + (1 + r) · VaRα ≥ 0] = α. (10.22)
A ce sujet, la classe des actifs dont la distribution jointe est elliptique constitue une exception notable
pour laquelle Embrechts et al. (2002) ont montré que la VaR est sous-additive, et demeure donc une
mesure cohérente de risque.
Vue l’utilisation très répandue de la VaR dans le milieu professionel, il était souhaitable d’essayer de
construire une mesure de risque cohérente se rapprochant le plus possible de la VaR et qui de plus
complète l’information fournie par celle-ci, à savoir : conditionnée au fait de subir une perte dépassant
la VaR, quelle est, en moyenne, la perte observée. Ceci a conduit à la définition de l’Expected Shortfall :
DÉFINITION 7 (EXPECTED SHORTFALL)
Soit X ∈ G supposé à distribution continue. L’Expected Shortfall, calculée au niveau de confiance α est
X
ESα = −E
X
1 + r ≤ −V aRα . (10.23)
1 + r
Dans le cas où la distribution de X n’est pas supposée continue, l’expression de l’Expected Shortfall est
un peu plus compliquée (voir Acerbi et Tasche (2002) ou Tasche (2002) par exemple).
Lorsque l’on souhaite tenir compte des grands risques, une autre approche, sur laquelle nous reviendrons
en détail dans la section 10.3, consiste à prendre en compte l’effet des moments d’ordres supérieurs
(à deux). La question concernant la cohérence de ce type de mesures de risques contruites à partir des
moments est abordée par Delbaen (2000) et plus particulièrement par Fisher (2001). Ce dernier montre
que toute mesure de risque
ρ(X) = −E[X] + a · σp, (10.24)