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10.2. Les mesures de risque cohérentes 357
Le premier point assure l’absence d’encaisse oisive. Le second est un principe de diversification : mieux
vaut agréger les risques. Le troisième point stipule que seul le risque est un paramètre pertinent pour
l’allocation de capital. Enfin, le quatrième point exprime simplement que le capital investi dans l’actif
sans risque ne peut l’être ailleurs.
Considérant maintenant que la mesure de risque ρ est cohérente, Denault (2001) a prouvé, par analogie
avec la théorie des jeux, l’existence, et parfois l’unicité, d’allocations cohérentes. Ces résultats étant
avant tout théorique et pour l’heure sans application pratique directe, nous n’irons pas plus avant sur
cette voie.
En vue d’une mise en oeuvre pratique, mais aussi sur le plan théorique, il est intéressant de noter que de
par les axiomes de sous-additivité et de positive homogénéité, il est évident que les mesures de risque
cohérentes sont convexes, ce qui assure aux problèmes d’optimisation de portefeuille l’existence d’une
unique solution optimale. Cependant, malgré le bon comportement mathématique de la fonction à minimiser,
la mise en oeuvre pratique se révèle parfois délicate. Dans le cas particulier de l’Expected
Shortfall, Pflug (2000) et Rockafellar et Uryasev (2000) ont établi un algorithme d’optimisation efficace
par l’introdution de variables auxiliaires qui permettent de rendre le problème linéaire par morceau. Cet
algorithme a ensuite été généralisé au cas des mesures spectrales par Acerbi et Simonetti (2002).
Enfin, il peut être utile de calculer le risque marginal associé à chaque actif au sein d’un portefeuille. Etant
donné N actifs X1, · · · , XN et w1, · · · , wN le nombre (ou le poids) de chaque actif dans le portefeuille,
le risque marginal de l’actif i est la contribution d’une unité de cet actif au risque du portefeuille. D’après
l’axiome d’homogénéité et en conséquence du théorème d’Euler sur les fonctions homogènes, le risque
ρw = ρ(w1 · X1 + · · · + wN · XN) du portefeuille peut s’écrire
ρw =
N
i=1
wi · ∂ρw
, (10.31)
∂wi
sous l’hypothèse que la mesure de risque est différentiable par rapport aux wi. En conséquence, il apparait
clairement que la contribution marginale de l’actif i au risque du portefeuille est
ρi = ∂ρw
. (10.32)
∂wi
Ceci permet en outre, généralisant l’approche de Gouriéroux, Laurent et Scaillet (2000) concernant la
Value-at-Risk et de Scaillet (2000a) pour ce qui est de l’Expected-Shortfall, d’étudier la sensibilité du
risque du portefeuille par rapport à l’allocation des différents actifs.
10.2.5 Critique des mesures cohérentes de risque
Le mérite de l’axiomatique des mesures de risque cohérentes est de proposer une approche mathématique
rigoureuse de la problèmatique associée à la notion de risque. Cependant, comme toute approche axiomatique,
certaines des hypothèses de base peuvent être soumises à discussion. Si les axiomes d’invariance
par translation et de monotonie ne semblent pas souffrir la critique, on peut cependant légitimement
s’interroger sur la validité et les limites des deux autres axiomes.
Commencons par discuter l’axiome d’homogénéité. Comme nous l’avons précédemment écrit, cet axiome
n’est rien d’autre qu’une propriété d’extensivité de la mesure du risque : le risque associé à une position
est proportionel à la taille de cette position. Cependant, cela suppose qu’à tout moment l’on soit capable
de liquider cette position, quelle qu’en soit sa taille. Sous l’hypothèse d’un marché parfaitement liquide,
cette hypothèse est tout-à-fait raisonnable. Mais, dès que l’on souhaite considérer un marché réel, et donc