Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben Írta ...

0≤Tj≤ 1
A tolerancia mutató minél közelebb van az 1-hez, annál kevésbé zavaró a multikollinearitás.
Ha valamelyik változó T j mutatója 0,5 és 1 között van, akkor gyenge, (zöld szám), ha 0,2-0,5 között van
akkor erős, zavaró, (kék szám) ha pedig 0 és 0,2 között van, akkor nagyon erős, káros (piros szám) a
multikollinearitás.
A multikollinearitás kiküszöbölése. Főkomponens regresszió F
169 170
F
F
A főkomponens-elemzés (PCA: Principal Components Analysis) az adatok leegyszerűsítését teszi lehetővé,
a kiindulási adatmátrix dimenziójának csökkentésével. A régi magyarázó változók lineáris kombinációjával
új változókat állítunk elő a sajátérték probléma megoldásával. A főkomponenselemzés mögöttes
gondolata az, hogy kisszámú háttérváltozó “underlying factor” segítségével a teljes mátrixot viszonylag
jól (adott hibával) reprezentálni lehet. Az új mesterséges változók korrelálatlanok (ortogonálisak, tehát
egymástól lineárisan függetlenek), és csökkenő sajátértékek (eigenvalue) sorrendjében szokás sorban rakni
őket. Az eljárás az eredeti, egymással szorosan korreláló k számú változót azok ugyancsak k számú
főkomponensével helyettesíti, és ezek segítségével készít immáron jó tulajdonságú becsléseket. Az új regresszió
az így képzett új változókra vonatkozik, így a szokásos becslési kritériumok nagy része (torzítatlanság,
konzisztencia) nem értelmezhetők.
Alkalmas lehet becslésre, a főkomponens regresszió, ha:
• a kevés számú főkomponens minimális információ vesztéssel képes helyettesíteni a változókat,
• a mesterséges változók szakmailag jól értelmezhető tartalmúak,
• elsősorban nem a regressziós paramétervektorra, hanem az y becslésére vagyunk kíváncsiak
A főkomponens regresszió paramétereinek meghatározása X T X mátrix saját értékeinek (λ) és saját vektorainak,
(faktorsúlyainak, loadings: a ij)
a meghatározását jelenti.
Általában különböző mértékegységű változókból állítjuk elő a mesterséges változókat, ezért a mértékegységeket
ki kell küszöbölni. Ezt a standardizálás műveletével lehet biztosítani:
xij -x
x ij =-= i=1,2…n j=1,2,…k
σ
Az eredeti regresszió n*k méretű X változómátrixot egy k*k méretű A mátrixszal egy ugyancsak n*k méretű
Z = XA mátrixszá transzformáljuk. E Z mátrix oszlopvektorait főkomponenseknek vagy
főkomponensvektoroknak nevezik. Az A mátrix tehát az X T X mátrix sajátvektoraiból épül fel. Az A mátrix
elemeit az x j standardizált változók variancia-kovariancia mátrixának saját vektorai adják. A standardizált
változók variancia-kovariancia mátrixa az eredeti változók korrelációs mátrixával (R) azonos, így
ebből a mátrixból is meghatározhatjuk a saját értékeket és saját vektorokat. Az A mátrix tehát becsülhető
a korrelációs mátrixból számított saját értékekhez tartozó saját vektorokkal, és ezért a program ennek
alapján végzi el a számításokat. Egy-egy saját érték azt mutatja, hogy a vizsgált főkomponens az X mátrix
varianciájának hány %-t határozza meg. A saját értékek összege a magyarázó változók számával (k)
egyezik meg. Ennek alapján a saját értékekből megoszlási illetve kumulált megoszlási viszonyszámokat
képezhetünk. Általában néhány főkomponens az X mátrix varianciájának igen jelentős hányadát képviselheti,
ezért eljárhatunk úgy is, hogy nem a multikollinearitást okozó Xj magyarázó változót zárjuk ki a
modellből, hanem az alacsony saját értékekkel rendelkező főkomponenseket. Arra nincs egyértelmű szabály,
hogy hány új főkomponens változót célszerű a modellben tartani. Az egyik megközelítés az lehet,
hogy akkor jelentős egy főkomponens, ha a sajátértéke nagyobb mint egy illetve ha nem nagyobb mint
egy, de a figyelembe vett saját értékek az összes variancia legalább 80% -át megmagyarázzák.
A számításokhoz szükséges adatokat a Mátrix munkalapon közöljük.
A főkomponensek (saját vektorok ij a i,j=1,2…16) és a magyarázó változók közötti összefüggés 172
F :
169 Mundruczó György [1981]: 71-73.
170 Hunyadi László [2001]: 179-181.
171 Petres Tibor-Tóth László [2008]: 245-246.
171
162