Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben Írta ...

2
dyt
2
( − )
( ct
+
3
)
2 ct ct
ˆ bc Ke b e
= = 0,
dt e b
ln b
t w = ,
c
K
ˆy t = .
w 2
A harmadik derivált ebben a pontban nem egyenlő 0-val, hiszen b > 0 , tehát ebben a pontban inflexiós
pont van:
3
dyˆ
t = 0,
3
dt
tw
2lnb lnb 2
e − 4be + b = 0,
b= 0.
A függvény helyettesítési értéke a t = 0 helyen és a telítődési szint:
K
ˆy 0 = ,
1+ b
lim yˆ t = K.
t→∞
Könnyen belátható az, hogy a Verhulst és a Pearl-Reed-féle függvények lényegében azonosak:
ct c′ t
Ke Ke
=
cm ct c′ t
e + e e + b′
Késleltetett logisztikus trendfüggvény
Az előzőekben bemutatott logisztikus trendfüggvénynek az inflexiós pontra való szimmetriája sok esetben
modellezési szempontból nem helytálló. Ha a kezdeti növekedés gyorsabb ütemű, és a görbe az inflexiós
pontot a telítettségi szint felénél korábban éri el, akkor használhatjuk a késleltetett logisztikus trendfüggvényt.
Az inflexiós pont után a késleltetett logisztikus trendfüggvény konkáv szakasza hosszabb és
elnyújtottabb, mint a logisztikus trend hasonló konkáv szakasza, tehát késleltetett hatás érvényesül a telítődési
szint elérésében. A 3-13. ábra a késleltetett logisztikus trendfüggvény alakját és nevezetes pontjait
mutatja be.
A függvényt leíró formula:
K
ˆy t = , a
⎛T⎞ 1+
⎜ ⎟
⎝ t ⎠
Ahol
T-a helyzetparaméter, ha T> 0;
a – növekedési sebességet jellemző paraméter, ha a > 1.
Amennyiben t=T, úgy:
K
ˆy T = .
2
A függvény inflexiós pontjának koordinátái
a
⎡ ⎛T⎞ ⎤
aK⎢( a−1) a 1
2
⎜ ⎟ − − ⎥ a
dyˆ t
t ⎢ ⎝ ⎠ ⎥⎛T⎞ =
⎣ ⎦
0
2
a
3 ⎜ ⎟ = ,
dt ⎡ t
2 ⎛T⎞ ⎤ ⎝ ⎠
t ⎢⎜ ⎟ + 1⎥
⎢⎣⎝ t ⎠ ⎥⎦
68