Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben Írta ...

ˆy0= 0,
lim yˆ = K.
t→∞
t
Johnson-trendfüggvény
A Johnson-görbe a logisztikus függvénynél gyorsabban emelkedik és nem szimmetrikus, azaz az inflexiós
pont rövidebb idő alatt érhető el, tehát az inflexiós pont és a telítettségi szint közötti szakasz hosszabb. A
gyors növekedést lényegesen lassúbb telítődési (érett növekedési) szakasz követi, mint a logisztikus
függvény esetében. A 3-17. ábra mutatja be a Johnson-trendfüggvény alakját és nevezetes pontjait. Az
inflexiós pont korán, a b/2-c időpontban bekövetkezik, amit egy elnyújtott, hosszabb konkáv szakasz követ.
A függvényt leíró formula:
t
b
K− c+ t
ˆy = e ,
b
ln yˆ t = K − ,
c+ t
ahol
b – a helyzetparaméter, ha b > 0 ;
c – a növekedési sebességet jellemző paraméter, ha c> 0.
A függvény inflexiós pontjának koordinátái:
2
dyt
2
( )
K− ⎡a/ b+ t ⎤
( + )
( )
⎣ ⎦
ˆ ae ⎡a− 2 b + t ⎤
=
⎣ ⎦
= 0,
4
dt b t
( )
K− ⎡b/ c+ t ⎤
( )
2
dyˆ
be
t = 2
dt
⎣ ⎦ ⎡⎣b− 2 c + t ⎤⎦
= 0,
4
( c+ t)
b
tw= − c,
2
ˆytw K−2 = e .
A harmadik derivált ebben a pontban nem egyenlő 0-val, hiszen b > 0 , tehát ebben a pontban inflexiós
pont van:
3
dyˆ
t
3
dt
= 0,
ˆy t
K
e
K-2
e
b
K c
e −
b
tw= −c
2
tw
2
b ≠ 0.
yˆ= e
t
b
K −
c+ t
3-17. ábra: A Johnson-trendfüggvény
A függvény helyettesítési értéke a t = 0 helyen és a telítődési szint:
t
73