Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben Írta ...

ˆy t – a termékből a t -edik évben értékesített mennyiség becsült értéke;
a – az éves termelési értékesítési volumenek várható maximuma;
ω – a görbe alakját, az inflexiós pontok helyét meghatározó alakparaméter;
τ – a maximális értékesítés várható időpontja.
A függvény maximuma, mivel ebben a pontban az első derivált nulla és a második derivált a τ pontban
negatív –1:
( )
( )
2 2 dyˆ
t 2
−ω t−τ
= 2aω τ− t e = 0 ,
dt
t max = τ,
ˆy = a.
tmax
A függvény inflexiós pontjai:
2
dyˆ
2 2
t 2 −ω ( t−τ)
2 2
= 2aω e ⎡2ω 2
( t −τ) − 1⎤ = 0 ,
dt
⎣ ⎦
t w;w 1 2
=τ±
1
,
2ω
ˆy tw
1;w2 =
a
.
e
Bizonyítható, hogy a harmadik derivált ezekben a pontokban nem egyenlő 0-val.
A függvény helyettesítési értéke a t = 0 helyen és a telítődési szint:
( ) 2
0
a
ˆy =
ωτ
e
,
lim yˆ t
t→∞
= 0.
Az életgörbe trendfüggvény és a normális eloszlás sűrűségfüggvénye közötti összefüggést az alábbiakban
95
mutatjuk be F .
Amennyiben
a =
1
2
2πσ
, ω=
1
2
2σ
,
úgy
( )
( ) 2
ˆyt 2 2
−ω t−τ = ae =
1
2
2πσ
1
− t−τ
2
2σ
e
a τ várható értékű, 2
σ varianciájú normális eloszlás sűrűségfüggvénye.
ˆy t
a
e
95 Haustein [1972] 186–187.
a
τ−
1
2ω
τ
τ+
1
2ω
ˆy = ae t
( ) 2 2 −ω t−τ
3-19. ábra: Az életgörbe trendfüggvény
t
76