Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben Írta ...

K− ˆy c
0 = e ,
K
lim yˆ t = e .
t→∞
Az általánosított Richards-féle logisztikus trendfüggvény
Richards F
90 kiegészítette egy v paraméterrel a logisztikus Verhulst - függvényt, ezzel az inflexiós pontban
aszimmetrikussá téve azt:
ˆy
=
K
−ct ( −m)
( 1+ ve )
t 1/ v
ahol
v – szabályozza az inflexiós pontban felvett függvényértéket, v> 0;
c– növekedési sebességet jellemző paraméter, c>0;
m – az inflexiós pont, m>0.
A függvény inflexiós pontjai:
tw= m,
ˆy tw =
K
. 1v
1+ v
( )
A függvény helyettesítési értéke a t = 0 helyen és a telítődési szint:
K
ˆy 0 =
,
cm
1/ v
( 1+ ve )
lim yˆ = K.
t→∞
t
Az általánosított Richards-féle logisztikus trendnek a hazai és a nemzetközi szakirodalomban jelenleg
széles körben elfogadott képletében feloldották azt a feltételezést, hogy a függvény nem rendelkezik alsó
91
aszimptotával. F Ez az öt paraméterrel rendelkező függvény egy olyan S-alakú görbét határoz meg, amely
pályáját az A alsó korlát és a K telítődési szint között futja be.
A függvényt leíró formula
( K−A) ˆyt= A+
. 1/ v
−ct ( −m)
( 1+ ve )
A függvény inflexiós pontjának koordinátái:
2
dyˆ
( ) ( 2v 1) v
t 2 cm+ tv
cm ct cm ct
− +
= ce 2
( K−A)( e −e)( ve − e ) = 0,
dt
tw= m,
( K−A) ˆyt= A + .
w
1/ v
1+ v
( )
A harmadik derivált ebben a pontban nem egyenlő 0-val, mivel v> 0,
tehát ebben a pontban inflexiós
pont van:
3
dyˆ
t = 0,
3
dt
v=−1. A függvény helyettesítési értéke a t = 0 helyen és a telítődési szint:
90 Ld.: Richards ([1959] 290–301. és Xinyou Yin et al. [2003] 361–371.
91 Ld.: Pella–Tomlinson [1969] 421-496. Colin [1999] 713-723. és Fokasz [2006] 29.
tw
,
74