Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben Írta ...

ˆy t
K
0,63K
K
K −
e
⎛ 1 ⎞
⎜1−⎟ ⎝ a ⎠
1
t a
w = T 1− a
T
K
ˆyt= K−
e
3-16. ábra: A 63 százalékos trendfüggvény
A függvényt leíró formula:
K
ˆyt= K−
a ,
⎛ t ⎞
⎜ ⎟
⎝T⎠ e
ahol
T – a helyzetparaméter, ha T> 0;
a – a növekedési sebességet jellemző paraméter, ha a > 1.
A függvény nevét adó pont, t=T esetén a függvény a telítődési érték 63%-át veszi fel.
K ⎛ 1⎞
ˆy T = K − = K ⎜1− ⎟=
0,632K .
e ⎝ e⎠
A függvény inflexiós pontjának koordinátái:
2a a
⎡ 2 ⎛ t ⎞ ⎛ t ⎞ ⎤
a
2
⎛ t ⎞ Ka Ka ( 1 a)
dyˆ ⎢ − ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥
⎜ ⎟
t ⎝T⎠ T T
=− e ⎢ ⎝ ⎠
+
⎝ ⎠ ⎥ = 0,
2 2 2
dt ⎢ t t ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
1
t a
w = T 1 − ,
a
K
ˆyt= K − .
w
⎛ 1 ⎞
⎜1−⎟ ⎝ a ⎠ e
A harmadik derivált ebben a pontban csak akkor egyenlő 0-val, ha a = 1,
viszont az a > 1,
tehát az inflexiós
pont létezésének elégséges feltételét is bizonyítottuk:
3
dyˆ
t = 0,
3
dt
A két említett nevezetes pont ( T t )
a
⎛ t ⎞
⎜ ⎟
⎝T⎠ tw
2 ⎛
a 1
3
1⎞ 3a(1
⎛
a) 1
2
1⎞ (a 1)(a
⎛
2) 1
1⎞
0.
⎜
⎝
− ⎟
a⎠ + − ⎜
⎝
− ⎟
a⎠ + − − ⎜
⎝
− ⎟=
a⎠
yˆ , y ˆ , azaz a 63%-os és az inflexiós pont koordinátái alapján jól látható,
w
hogy az a paraméter növekedése esetén a két pont egyre közelebb kerül egymáshoz, azaz w
a→∞
lim yˆ = yˆ
.
a→∞
twT A függvény helyettesítési értéke a t = 0 helyen és a telítődési szint:
t
lim t = T és
72