Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben Írta ...

A függvény inflexiós pontjának koordinátái:
2
2 2 2ct ct
dyˆ
2bc K e ( 2b − e )
t = = 0 ,
2
ct
4
dt e + b
( )
ln 2b
t w = ,
c
4 2 ˆyt= K .
w 9
A harmadik derivált ebben a pontban nem egyenlő 0-val, hiszen b > 0 , tehát ebben a pontban inflexiós
pont van:
3
dyˆ
t = 0,
3
dt
tw
2ln2b ln2b 2
e − 7be + 4b = 0,
2 2 2 2
4b − 14b + 4b =− 6b = 0,
b = 0.
Az inflexiós ponttal jellemzett irányváltás tehát a négyzetesen logisztikus függvény esetében később következik
be, mint a logisztikus trendfüggvénynél ugyanis:
ln b ln 2b
< .
c c
A függvény helyettesítési értéke a t = 0 helyen és a telítődési szint:
2
K
ˆy 0 = , 2
( 1+ b)
2
lim yˆ t = K .
t→∞
Gompertz-függvény
87
Benjamin Gompertz F már a XIX. század elején felfedezte azt a halandósági törvényt, amit az állatokon
végzett vizsgálatok is megerősítenek. Az emberi halandósági ráta a nemi érettség elérése idején a legki-
88
sebb, utána exponenciálisan emelkedik. Az idő ebben az esetben az életkor. Valkovics Emil F például az
eredeti Gompertz-formula megfelelő átalakításával újradefiniálta a halandósági tábla függvényeit, és példákkal
szemléltette a Gompertz-függvény megnövekedett felhasználási lehetőségeit a demográfia egyes
területein.
89
A Gompertz-függvény eredeti alakja F :
t
c ˆy= Kb ,
t
ln yˆ = ln K + c ln b.
A Gompertz-függvény az előbbi függvény továbbfejlesztése alapján egy kettős exponenciális függvény (a
kitevőben is egy exponenciális kifejezés szerepel). Az eredeti modell és levezetése alapján a nemzetközileg
leginkább elterjedt és elfogadott forma jelenleg a következő:
−ct
−be
ˆyt= Ke ,
−ct
ln yˆ t = ln K + ( −be
) .
Ahol
c – a növekedési sebességet jellemző paraméter, c >0;
b – a helyzetparaméter, b >0.
87 Benjamin Gompertz [1779–1865] biztosítási matematikus. Ld.: (Gompertz [1825].
88 Ld.: Valkovics Emil [2001] 121–141
89 Kotz [2006] 14: kötet, 8727–8728.
70