Thomas Calculus 13th [Solutions]

500 Chapter 6 Applications of Definite Integrals
36. A typical horizontal strip has: center of mass:
y
2 2
( x, y) , y , length:
area:
is
2
y
2
2 y y , width: dy,
2
dA 2 y y dy , mass: dm dA
2
2 y y dy ; the moment about the x-axis
2 2 3
y dm y 2y y dy 2 y y dy;
the moment about the
y -axis is
2 2
y y
2 2 4
x dm 2y y dy 4y y dy M
2 2
x y dm
2 2 3 2 3 2 16 16 16 16 4
0
2 y
y y dy y
3 4 3 8 4 3 4 12 3
; M y
0
4 2
2 2 4 4 3 y
y y dy y
4 8 32 32
2 0
2 3 5 2 3 5 15
0
4
5 2
4 ;
M y
8 4 32 3 8
3 3 M 15 4 5
M x
x dm
2 2 2
M dm 2y y dy y
0
x and y 4 3
1. Therefore, the centroid is ( x, y) 8
,1 .
37. A typical horizontal strip has: center of mass:
y
2 2
( x, y) , y , length:
area:
2
y
2
2 y y , width: dy,
2
dA 2 y y dy , mass: dm dA
2
(1 y) 2y y dy the moment about the
x -axis is
2
y dm y y y y dy
(1 ) 2
2 3 3 4 2 3 4
2y 2y y y dy 2 y y y dy ; the moment about the y -axis is
M
y
2 2y
2 1 2 4 1 2 3 4 5
x dm (1 y) 2y y dy 4 y y (1 y) dy 4y 4y y y dy M
2 2 2
x y dm
2 2 3 4 2 3 y y
y y y dy y
16 16 32 1 1 2 16
4 44
0
3 4 5 3 4 5 3 4 5 60 15 15
0
5 6 2
2 2 3 4 5 3 4
3
4
5 6
1 1 4 y y
M 1 4 2 2 2
y x dm 4y 4y y y dy y y
2
0 2 2 3 5 6 2 3 5 6
0
4 4 8 4 24
2 2 2 2 3
4 2 4 2 ; M dm (1 y) 2y y dy 2y y y dy
3 5 6 5 5
0 0
4 5 2
3 4
2 16 (20 15 24) (11) ;
3 4 2
2 y y
4
8 16 8 24 3 9
3 4 3 4 3 M 5 8 5
0
( x, y) , .
5 10
M y
y x and y 44 3 44 11
Therefore,
the center of mass is
9 11
M x
M
15 8 40 10 .
y
3
5
3 2
0
38. A typical vertical strip has: center of mass: ( x, y) x , , length:
3/2
3/2
3
x
3
2x
3 ,
dA
x
3 3 9
2x x 2x
3
,
x
width: dx, area: dx
3/2
mass: dm dA dx the moment about the x -axis is y dm dx dx ; the moment
3/2
3/2 3/2 3
about the
3 3
.
x x
y -axis is x dm x dx dx
3/2 1/2
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