Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 16.1 Line Integrals 1157
1
20. (a) r( t) ti 4 tj, 0 t 1 dr
i 4j
dr
17 x 2y ds t 2(4 t) 17 dt
dt dt C
0
1 1 2/3
1
17 9t dt 3 17 t dt 2 17 t 2 17
0 0 0
(b) C1 : r( t) ti, 0 t 1 dr i dr 1; C2
: r( t) i tj, 0 t 1 dr j dr
1
dt dt dt dt
1 2
x 2y ds x 2y ds x 2y ds t 2(0) dt 1 2( t)
dt
C C C
0 0
1 2
1 2 2/3
1
2/3
2
2 1 2 5 5 1 5 5 1
t dt 1 2 t dt t (1 2 t)
0 0 3 0 3 0 3 3 3 3
21.
2 2 2
x
(4 t)
r( t) 4ti 3 tj, 1 t 2 dr
4i 3j
dr
5 ye ds ( 3 t) e 5dt
dt dt C
1
2 16t
15 16t
15 64 15 16 15 16 64
15 t e dt e e e e e
1
32 32 32 32
1
2 2 2
22.
2 2
r( t ) (cos t ) i (sin t ) j, 0 t 2 dr
( sin ) (cos ) d sin cos 1
dt
t i t j r
dt
t t
( 2 2
x y 3) ds
0
(cos t sin t
C 3) 1 dt sin t cos t 3 t
0
6
23.
2 3 2 2 2
2
2
r( t ) t i t j, 1 t 2 dr
2 3 d (2 ) 3 4 9
dt
t i t j r
dt
t t t t
2
x
C y
2
2
3/2
2
2 t
2 2 2 1 2 80 10 13 13
ds t 4 9t dt t 4 9t dt 4 9t
1 1
27 27
t
1
4/3
3
4/3
24.
3 4 2 3 2
2
3
2
1
2 2
r( t ) t i t j, 1 d 3 4 d 3 4 9 16
2
t r
dt
t i t j r
dt
t t t t
1
y 1 4
2 2 1
2 2
3/2
t
1
125 13 13
ds t 9 16t dt t 9 16t dt 9 16t
C x 1/2
3
t
1/2
48 48
1/2
25.
C 2 2
1 : r( t ) t i t j, 0 t 1 d r i 2 d 1 4 ; 2 : ( ) (1 ) (1 ) , 0 1
dt
t j r
dt
t C r t t i t j t
dr
i j dr
2 x y ds x y ds x y ds
dt dt C C C
1 2
1 2 2 1 1 2 1
t t 1 4 t dt (1 t) 1 t 2dt 2t 1 4t dt 1
0 0 0 0
t 1 t 2dt
3/2
1
2 2 3/2
1
1 1 2
5 5 1 7 2 5 5 7 2 1
1 4t 2 t t (1 t)
6 2 3 0 6 6 6
0
26. C1 : r( t) ti, 0 t 1 dr i dr 1; C2
: r( t) i tj, 0 t 1 dr j dr
1;
dt dt dt dt
C3 : r( t) (1 t) i j, 0 t 1 dr i dr 1; C4
: r( t) (1 t) j, 0 t 1 dr j dr
1;
dt dt dt dt
1 ds 1 ds 1 ds 1 ds 1 ds
C
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y 1 C x y 1 C x y 1 C x y 1 C x y 1
1 2 3 4
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