Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 5.5 Indefinite Integrals and the Substitution Method 385
64.
tan
1 x
1
2
x 1/2
dx u du , where
1
3/2 1 3/2 1 3
u tan x and du dx 2 u C 2 (tan x) C 2 (tan x)
C
2
1 x 3 3 3
65.
1
1 y
2
1 2 1
1 dy dy 1 ,
(tan y)(1 y ) tan y u
du where
1
dy
1
u tan y and du ln u C ln tan y C
2
1 y
66.
1
1 y
2
1 dy dy 1 du , where
1 2
1
(sin y) 1 y sin y u
u
sin
1
y and
dy
1
du ln u C ln sin y C
2
1 y
67. (a) Let
2
u tan x du sec x dx;
3 2 2
v u dv 3u du 6dv 18 u du ; w 2 v dw dv
2 2 2
18 tan xsec x dx 18u
du 6 dv 6 dw
6 w 2 dw 6 w 1 C 6
3 2 3 2 2 2
(2 tan x) (2 u ) (2 v)
w
2 v
C
6 C 6 C
3 3
2 u 2 tan x
3 2 2 2 2
(b) Let u tan x du 3tan xsec x dx 6 du 18tan x sec x dx ; v 2 u dv du
2 2
18 tan xsec x dx 6du
6dv
6 6 6
3 2 2 2 2
3
(2 tan ) (2 ) v
C x u v u
C C
2 tan x
3 2 2 2 2
(c) Let u 2 tan x du 3tan xsec x dx 6du 18 tan xsec
x dx
2 2
18 tan xsec x dx 6 du 6 6
3 2 2 3
(2 tan ) u
C C
x u 2 tan x
2
68. (a) Let u x 1 du dx ; v sin u dv cos u du;
w 1 v dw 2v dv 1 dw v dv
2
2 2 2
1 sin ( x 1) sin( x 1) cos( x 1) dx 1 sin u sin u cosu du v 1 v dv
1 1 3/2 1 2 3/2 1 2 3/2 1 2 3/2
w dw w C (1 v ) C (1 sin u) C (1 sin ( x 1)) C
2 3 3 3 3
2
(b) Let u sin( x 1) du cos( x 1) dx;
v 1 u dv 2u du 1 dv u du
2
2 2 1 1 1/2
1 sin ( x 1) sin( x 1)cos( x 1) dx u 1 u du v dv v dv
2 2
1 2 3/2 1 3/2 1 2 3/2 1 2 3/2
v C v C (1 u ) C (1 sin ( x 1)) C
2 3 3 3 3
2
(c) Let u 1 sin ( x 1) du 2sin( x 1) cos( x 1) dx 1 du sin( x 1)cos( x 1) dx
2
2 1 1 1/2 1 2 3/2 1 2 3/2
1 sin ( x 1) sin( x 1)cos( x 1) dx u du u du u C (1 sin ( x 1)) C
2 2 2 3 3
2
69. Let u 3(2r 1) 6 du 6(2r 1)(2) dr 1 du (2r 1) dr;
1 1 1
12
v u dv du 2 u 6
dv du 12 u
2
(2r 1)cos 3(2r 1) 6 cos u
dr 1 du (cos v) 1 dv 1 sin v C 1 sin u C
2
3(2r
1) 6
u 12 6 6 6
1
2
sin 3(2 1) 6
6 r C
sin
70. Let u cos du sin 1 d 2du d
2
sin d sin d 2du
3/2 1/2
2 u du 2( 2 u ) C 4 C 4 C
3 3
3/2
cos
cos
u
u cos
71. Let u sin x du cos x dx.
cot x cos x du ln ln sin
sin x
dx u
u C x C
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