Thomas Calculus 13th [Solutions]

384 Chapter 5 Integration
x
53. Let 1 x
1 2 1 x
u e du e dx du e dx 1 dx
2 x x x
xe
1 2 x
2
x
sec e 1 dx 2 sec u du 2 tan u C 2 tan e 1 C
x
xe
1 1 1
54. Let u 1 e
x
du e
x 1 dx du e
x 1 dx
2 2
x
x
1 1 1 1
x x x x
1 e sec 1 e tan 1 e dx secu tan u du secu C sec 1 e C
2
x
55. Let u = ln x du 1 dx
x
1 dx 1 du ln u C ln ln x C
x ln x u
56. Let u = ln t du 1 dt
t
1/2 2
2
ln t
dt ln t dt 1 ln t dt 1 u du 1 u C 1
t t 2 t 2 2 2 4 (ln t ) C
z z z
57. Let u e 1 du e dz du e dz
z z z
dz 1 e 1
z
dz e dz du ln u C ln( e 1) C ln 1 e C
z z z z z
1 e 1 e e e 1 u
e
z z z
(ln(1 e ) ln e ) C z ln(1 e ) C
2
58. Let u x du 2x dx 1 du x dx
2
dx
x dx 1 du 1 1 1 2
sec u C 1 sec ( x ) C
4 2 2 2 2 2
x x 1 x ( x ) 1 u u 1
2 2
59. Let u 2 r du 2 dr 3 du dr
3 3 2
3
2
2 2 2
2
1 r
u
3
5 dr 5 1 5 5 1 5 1 2
9 dr 9 du tan tan
9 4r
1 6 u C 6 3
r C
60. Let u e du e d
1
1 1
d e d
du sec u C sec ( e ) C
2 2 2
e 1 e ( e ) 1 u u 1
61.
sin
1
x
e
1
x
2
dx
u
e du , where
u
sin
1
x and
u sin x
du dx e C e C
2
1 x
1
62.
cos
1
x
e
1
x
2
dx
u
e du , where
u
cos
1
x and
u cos x
du dx e C e C
2
1 x
1
63.
1 2
(sin x) 2
dx u du , where
2
1 x
u
sin
1 3
1
3 (sin x)
x and du dx u C C
2
1 x
3 3
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