Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 8.4 Trigonometric Substitutions 581
31.
2
u x 1 du 2 x dx 1 du x dx;
2
3
x dx x x dx x dx x dx 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2
ln | | ln 1
2 2 2
x 1 x 1 x 1 2 x 2 u
du 2 x 2 u C 2 x 2
x C
32.
33.
2
u 25 4x du 8 x dx 1 du x dx;
8
x
25 4x 2
1 1 1 1
2
dx du ln | u| C ln 25 4x C
8 u 8 8
2
5 2
5
v sin , , dv cos d , 1 v cos ;
2 2
1 v
3
sin cos d 2 2
tan sec d tan C 1 v C
cos 3 3
1 v
2 2
3
v dv
5 2 5
2
2
34.
2
5/2
5
r sin , ; dr cos d , 1 r cos ;
2 2
2
5 2
1 r dr 5
7
cos cos d 7
2
6 2 cot 1 1 r
cot csc d C C
8 8
r
sin
7 7 r
t
1 1 2 2
35. Let
1 4 sec
t
e 3tan , t ln(3 tan ), tan tan , dt d , e 9 9 tan 9 3 sec ;
3 3 tan
1 2
1 1
ln 4 t
e dt tan (4 3) 3 tan sec d tan (4 3) tan (4 3)
sec d ln sec tan
1
e 9
tan 3 sec tan (1 3)
2
1 1
0 t tan (1 3) tan (1 3)
5 4 10
ln ln 1 ln 9 ln 1 10
3 3 3 3
2
t
1 1 2 2 2
36. Let
3 4 sec
t
e tan , t ln(tan ), tan tan , dt d , 1 e 1 tan sec ;
4 3 tan
sec
2
1 tan d
1
t
tan
1
3 2 1 3
1
cos d sin
1
2t
ln (4 3)
e dt
tan (4 3) tan (4 3) tan (4 3) 3
ln (3 4)
1 e
tan (3 4) sec
tan (3 4) tan (3 4)
2
4 1
5 5 5
37. 1 4 2 dt
1
1 2 du
2 2 2
; u 2 t , du dt ; u tan , , du sec d , 1 u sec
1 12 1 3
2
t 4t t t 1 u
6 4
;
1 2
2 du 4 2 sec d
4
2 2
1 3
2
6
2
1 u
sec
6 4 6 6
38.
39.
tan tan 2 2
2
y e , 0 , dy e sec d , 1 ln y 1 tan sec ;
4
e dy 4 tan 2
e sec
4 4
d sec d ln sec tan
1 2 0
tan
sec 0
0 ln 1 2
y 1 ln y
e
2 2
x sec , 0 , dx sec tan d , x 1 sec 1 tan ;
2
dx sec tan d
1
C sec x C
2
x x 1
sec tan
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