Thomas Calculus 13th [Solutions]

1156 Chapter 16 Integrals and Vector Fields
3 3 3
t t t t t dr dr
dt dt x y z t t t 3t
14. r( ) i j k,1 i j k 3;
2 2 2 2 2 2 2
3
f ( x , y , z ) ds
1 1
1 3 dt
C lim 1 1
2
3t t 1 b
b
15.
C 2 2 2 2
1 : r ( t) t i t j , 0 t 1 dr
i 2 d
dt
t j r
dt
1 4 t ; x y z t t 0 t | t | 2t
since
1
1 2 2
3/2
3/2
t 0 f ( x , y , z ) ds 1 1 1 1
6 6 6 6
1
0
2 t 1 4 t dt
C
1 4 t (5) 5 5 1 ;
0
C 2 2 2
2 : r ( t) i j t k , 0 t 1 d r k dr
dt dt
1; x y z 1 1 t 2 t
1 2 3
1
f ( x , y , z ) ds 1 1 5
C 3 3 3
2
0 2 t (1) dt 2 t t 2 ;
0
therefore f ( x, y, z) ds f ( x, y, z) ds f ( x, y, z) ds 5 5 3
C C C
6 2
1 2
16.
C C 1 : r ( t k , 0 t 1 d d 1; 2 2 2
k r
dt dt
( , , ) 1 3 1
2 1
3 3
1
0 t
C f x y z ds t dt ;
0
C 2 : r ( j k , 0 1 d d 1; 2
j r
dt dt
0 t 1 t 1
f ( 1 3/2
1
2 2 1
3 3 3
2
0 0
C 2
3 : r ( i j k , 0 1 d i dr
dt dt
1; t 1 1 t
1
2 1
f ( x, y, z) ds ( t)(1) dt t 1
C 2 2
3
0 0
f ( x, y, z)
ds f ds f ds f ds 1 1 1 1
C C C C
3 3 2 6
1 2 3
x y z
t t t t a t b dr dr
t t t 1
dt dt x y z t t t t
17. r( ) i j k, 0 i j k 3;
2 2 2 2 2 2
b
( , , ) 1
b
3 3 ln | | 3 ln b , since 0
C f x y z ds a t
dt t a
a
a b
18.
2 2 2 2
r( t ) ( a cos t ) j ( a sin t ) k, 0 t 2 dr
( sin ) ( cos ) d sin cos | |;
dt
a t j a t k r
dt
a t a t a
2 2 2 2 | a | sin t, 0 t
2 2 2
x z 0 a sin t f ( x, y, z) ds | a | sin t dt | a | sin t dt
| a | sin t, t 2 C
0
2 2
2
2 2 2 2 2
a cos t a cos t a ( 1) a a a ( 1) 4a
0
19. (a)
(b)
4 4 4
1 1
5 5 5 5 2
r ( t ) ti tj 2 , 0 t 4 dr
i j dr
x ds t dt t dt t
dt 2 dt 2 C 0 2 2 0 4
4 5
0
2 2 2 2
r( t) ti t j, 0 t 2 dr
i 2tj
dr
1 4t x ds t 1 4t dt
dt dt C 0
3/2
2
1 2 17 17 1
1 4t
12 12
0
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