Thomas Calculus 13th [Solutions]

1180 Chapter 16 Integrals and Vector Fields
10. M x 3 y, N 2x y M 1, M 3, N 2, N 1 Flux 1 ( 1) dy dx 0
x y x y
R
2
Circ (2 3) 2 2 x /2
2
2 2
dy dx
2 ( 1) dy dx
2
2 /2
2 2
2 x dx 2
x
R
11.
M
3 2 1 4 2 2 3 3 1 4 2 2 1 4
x y , N x y M 3 x y , M 2 x y, N 2 x y, N x Flux 3x y x
2 x y x y 2 2
dy dx
R
2 x 2 2 1 4 2 5 7 6 7 8 64
3 3
2
0 x y x dy dx
2 0
x x
x x
2 x x dx
9
x y 2 x y dy dx
R
0
1 1 2xy
M x N y M M N N 1 1 1 dx dy
1 y 1 y 1 y
1 y 1 y 1 y
R
12. , tan , , 0, Flux
2 x 2 y 2
2 x y 2 2 2
2 2
1 1 y 2
1 4 1 2
dx dy y dx 4 2 4 ; Circ 0
xy dy dx
1 2 2
1
2 2
1 y 1 y
1 y
2
R 1 y
2
1 1 y 2x y
1
dy dx (0) dx 0
1 2 2
1 y 2
1 y
1
13. M x
x x x x x x
e sin y, N x e cos y M 1 e sin y, M e cos y, N 1 e cos y, N e sin y
x y x y
Flux /4 cos 2 /4
1 1
/4
dx dy r dr d 1
/4 0 /4 2 d
4 /4 2
R
Circ
R
x x
/4 cos 2 /4
1 e cos y e cos y dx dy dx dy r dr d 1 cos 2 d 1
/4 0 /4 2 2
R
1 y 2 2 M y M x N 2x N 2 y
x x x y y x y x x y y x y
14. M tan , N ln x y
, , ,
2 2 2 2 2 2 2 2
y 2 y
2 r sin
Flux dx dy r dr d sin d 2;
2 2 2 2
0 1
2
x y x y r
0
R
2x
x
2 r cos
dx dy r dr d
0 1 0 cos d 0
x y x y r
Circ
2 2 2 2 2
R
2
1 x
15. M xy, N y M y, M x, N 0, N 2y Flux ( y 2 y) dy dx 2 3y dy dx
x y x y 0 x
R
1 2 4
3x
3x
1 1 x
dx ; Circ x dy dx 1 2 3 1
2 2 5
2 x dy dx x x dx
0 0 x
0
12
R
16. M sin y, N x cos y M 0, M cos y, N cos y, N x sin y
x y x y
Flux ( /2 /2 /2 2 2
x sin y ) dx dy
0 0 ( x sin y ) dx dy
0 8 sin y dy
8
;
R
/2 /2 /2 /2
Circ cos y ( cos y)
dx dy 2 cos y dx dy cos y dy sin
y
0 0 0
0
R
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