Thomas Calculus 13th [Solutions]

dy
w
dx
œc1sin x c2cos x cos xlnksec x tan xksin xsec x, y 0
œ1 Ê1 œc2
Ê y œ 2cos x sin x 1 sin xlnksec x tan xk
Section 17.2 Nonhomogeneous Linear Equations 1015
2 dy
2x w 2 2
52.
dx2 y œ e , y0
œ 0, y 0
œ
5
Ê r 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê yc œ c1cos x c2sin x
2x w 2x ww 2x 2x 2x 2x 2x 2x
1
yp
œ Ae Ê yp
œ 2Ae Ê yp
œ 4Ae Ê 4Ae Ae œ e Ê 5Ae œ e Ê 5A œ 1 Ê A œ
5
1 2x w
2 2x
1 1
Ê y œ c cosxc sinx e Ê y œ c sinxc cosx e ; y0
œ 0 Ê c œ 0 Ê c œ ;
1 2 5 1 2 5 1 5 1 5
2 2 2 1 1 2x
5 2 5 5 2
5 5
y w 0 œ Ê c œ Ê c œ 0 Ê y œ cosx
e
ww w x
w x
w ww ww w
# #
53. y y œ x, yp
œ
2
x, y0
œ 0, y 0
œ 0; yp
œ
2
x Ê yp œ x " Ê yp
œ 1 Ê y y œ 1 x " œ x
ww w 2
Ê x œ x Ê y satisfies the differential equation. y y œ 0 Ê r r œ 0 Ê rr 1
œ 0 Ê r œ 0 or r œ 1
p
0x † x x x x
w x
c 1 2 1 2 1 2 2
2
w
1 2
2 1 2
#
Ê y œ ce ce œ c ce Ê yœ c ce xÊ yœ ce x1;
#
y0
œ 0 Ê 0 œ c c ß y 0 œ 0 Ê c 1 œ 0 Ê c œ 1, c œ 1 Ê y œ 1e x
ww w w ww
54. y y œ x, yp œ 2sin x x, y0
œ 0, y 0
œ 0; yp œ 2sin x x Ê yp œ 2cos x 1 Ê yp
œ 2sin x
ww
ww
2
Ê y y œ 2sin x2sin x x œ x Ê x œ x Ê y p satisfies the differential equation. y y œ 0 Ê r 1 œ 0
w
Ê r œ 0„ i Ê yc œ c1cosxc2sinx Ê y œ c1cosxc2sinx2sinxx Ê y œ c1sinxc2cosx2cosx1;
w
y0
œ 0 Ê 0 œ c ; y0
œ 0 Ê 0 œ c 3 Ê c œ 3 Ê y œ 3sinx2sinxx œ sinxx
1
1 2 2
ww w x x w x w x x
55.
2y y y œ 4e cos x sin x , yp œ 2e cos x , y0 œ 0, y 0
œ 1; yp œ 2e cos x Ê yp
œ 2e cos x 2e sin x
ww x 1 ww w 1 x x x x x x
Ê yp
œ 4e sin x Ê
2y y y œ
2 4e sin x 2e cos x 2e sin x 2e cos x œ 4e cos x 4e sin x
x x x
1 ww w 1 #
Ê 4e cos x 4e sin x œ 4e cos x sin x Ê y satisfies the differential equation. y y y œ 0 Ê r r 1 œ 0
p
x
x
2
2 2
1„
É124ˆ 1‰1
x x x
2ˆ 1‰
c 1 2 1 2
2
w x x x x
1 2 1 2
1 1
w x x x
œ Ê 1 2 œ Ê 2 œ Ê œ œ x
x
2
Ê rœ œ 1„ iÊ y œ e ccosxcsinx Ê yœ e ccosxcsinx2ecosx
Ê y œ e c cos x c sin x e c sin x c cos x 2e cos x 2e sin x; y 0 œ 0 Ê c 2 œ 0 Ê c œ 2;
y 0 1 c c 2 1 c 3 y e 2cos x 3sin x 2e cos x 2 e e cos x 3e sin x
ww w w w ww
56. y y 2y œ 1 2x, yp œ x 1, y0
œ 0, y 0
œ 1; yp œ x 1 Ê yp œ 1 Ê yp
œ 0
ww w
Ê y y 2y œ 0 1 2x 1 œ 1 2x Ê 1 2x œ 1 2x Ê y p satisfies the differential equationÞ
ww w # # x x
y y 2y œ 0 Ê r r 2 œ 0 Ê r 2r 1 œ 0 Ê r œ 2 or r œ 1 Ê yc œ c1e c2e
# x x w # x x
Ê y œ c1e c2e x1 Ê y œ 2c1e c2e 1; y0
œ 0 Ê c1 c2 1 œ 0 Ê c1 c2
œ 1,
y w 1 2
0 œ 1 Ê 2c1 c2 1 œ 1 Ê 2c1 c2 œ 0. Thus c1 c2 œ 1, 2c1 c2 œ 0 Ê c 1 œ
3, c2
œ
3
1 # x 2 x
Ê y œ e e x1
3 3
ww w x # x w # x w # x x ww # x x x
57. y 2y y œ 2e , yp œ x e , y0
œ 1, y 0
œ 0; yp œ x e Ê yp œ x e 2x e Ê yp
œ x e 4x e 2 e
ww w # x x x # x x # x # x # x # x
Ê y 2y y œ x e 4x e 2 e 2x e 2x e x e œ x e Ê x e œ x e Ê y satisfies the differential
ww w # #
equation Þ y 2y y œ 0 Ê r 2r 1 œ 0 Ê r 1 œ 0 Ê r œ 1, repeated twice Ê yc œ c1e c2xe
x x # x w x x x # x x
w
Ê y œ c1e c2xe x e Ê y œ c1e c2xe c2e x e 2x e ; y0
œ 1 Ê c1 œ 1; y 0
œ 0 Ê c1 c2
œ 0
x x # x
Ê c œ 1 Ê y œ e xe x e
2
ww w 1 x x w x w
p p p
x x x
y ww
x
x x x e
p 2e xe lnx e lnx
x
x x x
ww w
y 2y y ˆ x x x e
2e xe lnx e lnx ‰ x x x x e e 1 x
x
2e xe lnx e lnx
xe lnx
x x
x e
ww w # #
p
x x x x x w x x x x x x
yc c1e c2xe y c1e c2xe xe lnx y c1e c2xe c2e e xe lnx e lnx;
58. y 2y y œ x e , x 0, y œ x e ln x, y1
œ e, y 1
œ 0; y œ x e ln x Ê y œ e x e ln x e ln x
Ê œ
Ê œ œ Ê œ
Ê y satisfies the differential equation Þ y 2y y œ 0 Ê r 2r 1 œ 0 Ê r 1 œ 0 Ê r œ 1, repeated twice
Ê œ Ê œ Ê œ
p
x
x
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