Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 16.1 Line Integrals 1159
34.
2
r( t) t 1 j 2 tk, 1 t 1 d r 2tj 2k
dt
dr
dt
2
2 t 1; M ( x, y, z)
ds
C
1 2 2
1 15 t 1 2 2 t 1 dt
1 2
30 t 1 dt 30 t t 60 1 1 80;
1
3 3
1
1 2 2
M xz y ( x, y, z) ds t 1 30 t 1 dt
C
1
3
1
1 4
30 1
48 3
1
t 1 dt 30 t
5 t M
60 1 48 xz
; ( , , )
5 y M 80 5
M yz
1
C
x x y z ds
0 ds 0 x 0; z 0 by symmetry (since is independent of z) ( x, y, z ) 0, 3 , 0
C
5
5
1
35.
2 2 2
r( t ) 2 t i 2 t j 4 t k, 0 t 1 dr
2i 2j 2 d 2 2 4 2 1 ;
dt
t k r
dt
t t
1
1 2 2
3/2
3/2
(a) M ds (3 t) 2 1 t dt 2 1 t 2 2 1 4 2 2
C 0
0
1
1 2 2 2
(b) M ds (1) 2 1 t dt t 1 t +ln t 1 t 2 ln 1 2 (0 ln 1)
C 0
0
2 ln 1 2
36.
2 3/2 1/2
r( t ) t i 2 t j , 0 2 d 2 d 1 4 5 ;
3
t k t r i j
dt
t k r
dt
t t
2 2 2
2
3 3 2 2
M ds 3
0 3 5 t 5 t dt
0 3(5 t ) dt
2 (5 t
C
) 0 2 7 5 2
(24) 36;
2 2 2 2 3
2
M 15
yz x ds t
0 3(5 t ) dt
C
0 15 t 3 t dt t t
2
30 8 38;
0
M 2 2 2 2
2 3/2
xz
C
y ds 0 2t 3(5 t) dt 2 0 15t 3t dt 76; M xy
C
z ds 0 3
t 3(5 t)
dt
2 3/2 5/2 5/2 7/2
2
4 5/2 4 7/2 32 144
0 10 t 2 t dt 4 t t
7 4(2) 0
7 (2) 16 2 7 2 7
2
M yz 38 19 M 76 19
M
xz
xy 144 2
x , y , and z
4 2
M 36 18 M 36 9 M 7 36 7
37. Let x a cos t and y a sin t, 0 t 2 . Then dx
dy
a sin t, a cos t, dz 0
dt dt dt
2 2
dx dy dz
2
2 2 2 2 2 2 2
dt a dt; I z x y ds a sin t a cos t a dt
dt dt dt C
0
2 3 3
a dt 2 a .
0
38.
1
r( t) tj (2 2 t) k, 0 t 1 dr
j 2k
dr
5; M ds 5 dt 5;
dt dt C 0
2 2 1 2 2 1 2 3 2
1
I 5 5
x y z ds t
0 (2 2 t ) 5 dt
0 5 t 8 t
C
4 5 dt 5 t
3 4 t 4 t
0 3
5;
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