Thomas Calculus 13th [Solutions]

2 dy
dx
dy
dx
Section 17.2 Nonhomogeneous Linear Equations 1013
9x 2 0 x 9x 9x
c 1 2 1 2
†
36. 2 9 œ 9e Ê r 9r œ 0 Ê rr 9 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 9 Ê y œ c e c e œ c c e
(a) y œ 1, y œ e Ê v œ œ œ e and v œ œ œ 1
1 2
'
9x
9x 0 e
1 0
º 9x 9x º
9e 9e
18x
º 9x
9e 9x
0 9e
º
w
w
1 1 e9x
9e9x
2 1 e9x
º
0 9e9x
º º
0 9e9x
º
'
1 1 1
Ê v1 œ e dx œ 9e and v2 œ 1dx œ x Ê yp
œ ˆ e ‰
9
1xe œ 9e x e
9x 9x
Ê y œ c1 c2e xe
9x w
9x 9x ww
9x 9x
(b) y œ Ax e Ê y œ 9Ax e A e Ê y œ 81Ax e 18A e
p
9x 9x 9x 9x 9x 9x
p
p
9x 9x 9x 9x 9x 9x 9x
Ê 81Ax e 18A e 99Ax e A e œ 9e Ê 9A e œ 9e Ê 9A œ 9 Ê A œ 1
9x 9x
Ê y œ c c e xe
1 2
37. y ww 2
y œ cot x, 0 x 1 Ê r 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê y œ c cos x c sin x Ê y œ cos x, y œ sin x
c 1 2 1 2
0 sinx cosx 0
º
w cot x cos x
º º
w sin x cot x
º
sin x cot x cos x cos x cot x
1 cos x sin x 1 sinx 2 cos x sin x 1
º
sin x cos x
º º
sin x cos x
º
Ê v œ œ œ sin x œ cos x and v œ œ œ cosx†
' ' ' ' '
# # #
Ê v œ cos x dx œ sin x and v œ dx œ dx œ dx œ csc x sin x dx
1 2
9x 9e
9e9x
cos x 1sin x 1 sin x
sin x sin x sin x sin x
œ lnkcsc x cot xksin x Ê y œ sin xcos xlnkcsc x cot xksin xsin x œ sin xlnkcsc x cot xk
Ê y œ c1cos x c2sin x sin xlnkcsc x cot xk
p
38. y ww 2
y œ csc x, 0 x 1 Ê r 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê y œ c cos x c sin x Ê y œ cos x, y œ sin x
c 1 2 1 2
0 sinx cosx 0
w º
csc x cos x
º º
w sin x csc x
º
sin x csc x 1 cos x csc x 1
1 cos x sin x 1 sinx 2 cos x sin x 1 sinx
º
sin x cos x
º º
sin x cos x
º
Ê v œ œ œ sin x œ 1 and v œ œ œ cos x †
'
'
cos x
Ê v1 œ 1dx œ x and v2 œ
sin x
dx œ ln ksin xk Ê yp
œ xcos xln ksin xksin x
œx cos x sin xln ksin xk Êy œc cos x c sin x x cos x sin xln ksin xk
1 2
ww w 8x 2 0 † x 8x 8x
cos x
sin x
œ
cos x
œ
sinx
39. y 8y œ e Ê r 8r œ 0 Ê rr 8
œ 0 Ê r œ 0 or r œ 8 Ê yc œ c1e c2e œ c1 c2e ;
w ww
y œ Ax e Ê y œ Ae 8Ax e Ê y œ 16Ae 64Ax e Ê 16Ae 64Ax e 8Ae 8Ax e œ e
p
8x 8x 8x 8x x 8x x 8x 8x 8x
p
p
8x 8x 1 8x 1 8x
8 1 2 8
Ê 8Ae œ e Ê 8A œ 1 Ê A œ Ê y œ c c e x e
ww # 0x †
40. y 4y œ sin x Ê r 4 œ 0 Ê r œ 0 „ 2i Ê yc œ e c1cos 2x c2sin 2x
œ c1cos 2x c2sin 2x;
w
ww
y œ A sin x B cos x Ê y œ A cos x B sin x Ê y œ A sin x B cos x
p p p
Ê A sin x B cos x4A sin x B cos x
œ sin x Ê 3A sin x 3B cos x œ sin x Ê 3A œ 1, 3B œ 0
1 1
Ê A œ , B œ 0 Ê y œ c cos2xc sin2x
sinx
3 1 2
3
ww w 3 2 0 † x x x
41. y y œ x Ê r r œ 0 Ê rr 1
œ 0 Ê r œ 0 or r œ 1 Ê yc œ c1e c2e œ c1 c2e ;
% $ # w $ # ww #
y œ Ax Bx Cx Dx Ê y œ 4Ax 3Bx 2CxD Ê y œ 12Ax 6Bx 2C
p p p
# $ # 3
Ê 12Ax 6Bx 2C4Ax 3Bx 2Cx D
œ x
$ #
3
Ê 4Ax 12A 3Bx 6B 2Cx 2C D œ x Ê 4A œ 1, 12A 3B œ 0, 6B 2C œ 0, 2C D œ 0
1 1
Ê A œ , B œ 1, C œ 3, D œ ' Ê y œ c c e x x 3x 6x
4 1 2 x % $ #
4
ww w 2 4„
È42415
2x
42. y 4y 5y œ x 2 Ê r 4r 5 œ 0 Ê r œ
21
œ 2 „ i Ê yc œ e c1cos x c2sin x
w ww
y œ Ax B Ê y œ A Ê y œ 0 Ê 0 4A 5Ax B œ x 2 Ê 5Ax 4A 5B
œ x 2 Ê 5A œ 1,
p p p
1 6
œ Ê œ œ Ê œ 2x
1 6
5 25
1 2
5
25
4A 5B 2 A , B y e c cos x c sin x x
#
cos x
sin x
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