Thomas Calculus 13th [Solutions]

380 Chapter 5 Integration
2 1
2
2 4
4 1 4 1 3 1 2 3
2 3 3
3. Let u x 5 du 2x dx du x dx
2 x( x 5) dx 2 u du u du u C ( x 5) C
4 3 1
4
3
3
4x
3 4 2 2
4 ( 1) 4
1
4 2
( x 1)
4
4. Let u x 1 du 4x dx du x dx
2 1 1
x 1
dx x x dx u du u du u C C 4
2 1
2
2 4 4 1 1 4 1 5 1 2 5
2 2 10 10 (3 4 )
5. Let u 3x 4 x du (6x 4) dx 2(3x 2) dx du (3x 2) dx
(3x 2)(3x 4 x)
dx u du
6. Let u 1 x du 1 dx 2 du 1
dx
2 x
1/3
(1 x) 1/3
dx (1 x)
1 dx
x
x
u du u C x x C
x
1/3 1/3 3 4/3 3 4/3
u 2 du 2 u du 2 u C (1 x)
C
4 2
7. Let u 3x du 3 dx 1 du dx
3
sin 3x dx 1 sin u du 1 cos u C 1 cos3x C
3 3 3
2
8. Let u 2x du 4x dx 1 du x dx
4
2 1 1 1 2
x sin (2 x ) dx sin u du cos u C cos 2x C
4 4 4
9. Let u 2t du 2 dt 1 du dt
2
sec 2t tan 2t dt 1 sec u tan u du 1 sec u C 1 sec 2t C
2 2 2
10. Let u 1 cos t du 1 sin t dt 2 du sin t dt
2 2 2 2
2
2 3
3
1 cos t sin t dt 2u du 2 u C 2 1 cos t C
2 2 3 3 2
3 2 2
11. Let u 1 r du 3r dr 3du 9r dr
2
9r dr 1/2 1/2 3 1/2
3u du 3(2) u C 6(1 r ) C
3
1 r
4 2 3 3
12. Let u y 4y 1 du (4y 8 y) dy 3 du 12 ( y 2 y)
dy
2 3 4 2 3
3 u du u C ( y 4y 1) C
4 2 2 3
12( y 4y 1) ( y 2 y)
dy
3/2 1/2
13. Let u x 1 du 3 x dx 2 du x dx
2 3
2 3 2 2 2 2 1 1 3/2 1 3/2
x sin ( x 1) dx sin u du u sin 2 u C ( x 1) sin (2x 2) C
3 3 2 4 3 6
14. Let u 1 1
x
du dx 2
x
1 2 2 2
cos 1 dx cos ( u) du cos ( u) du u 1 sin 2u C 1 1 sin 2 C 1 1 sin 2 C
2
x x 2 4 2x 4 x 2x 4 x
2 2
15. (a) Let u cot 2 du 2csc 2 d 1 du csc 2 d
2
2
2
2
csc 2 cot 2 d 1 u du 1 u C u 2
C 1
2 2 2
4 4 cot 2 C
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