Thomas Calculus 13th [Solutions]

1062 Chapter 14 Partial Derivatives
y
y
28. fx ( x, y) 3 y, f y ( x, y) 2y 3x sin y 7 e fxx ( x, y) 0, f yy ( x, y) 2 cos y 7 e ,
fxy
( x, y) f yx ( x, y) 3
29. w t dy
cos ( ), cos ( ), , 1 t
y xy w x xy dx e dw y cos( xy ) e x cos( xy ) 1 ;
x y dt dt t 1 dt t 1
t 0 x 1 and y 0 dw
1
dt 0 1 [1 ( 1)] 0
0 1
1
t
30.
w y y
1 2 dy
e , w xe sin z, w y cos z sin z, dx t , 1 1,
dz
x y z dt dt t dt
dw
dt
y 1/2 y
e t xe sin z 1 1 ( y cos z sin z) ;
t
t 1 x 2, y 0, and
z
dw
dt t
1
1 1 (2 1 0)(2) (0 0) 5
31. w y y
2cos (2 x y), w cos (2 x y), x 1, x cos s, s,
r
x y r s r s
w
r
2 cos (2 x y) (1) cos (2 x y) ( s);
r and s 0 x and y 0
w
s
w
r
( ,0)
(2cos 2 ) (cos 2 )(0) 2;
2cos (2 x y) (cos s) cos (2 x y) ( r) w (2cos 2 )(cos 0) (cos 2 )( ) 2
s ( ,0)
32. w w x x 1
u x u 2 2
1 x x 1
w
v
(0, 0)
2 1
5 5
(0) 0
u
2e cos v ; u v 0 x 2 w 2 1 2
u (0,0) 5 5 (2) 5
;
f f f dy
33. y z, x z, y x, dx sin t, cos t, dz 2sin 2t
x y z dt dt dt
df
( y z)(sin t) ( x z)(cos t) 2( y x)(sin 2 t ); t 1 x cos1, y sin1, and z cos 2
dt
df
(sin1 cos 2)(sin1) (cos1 cos 2)(cos1) 2(sin1 cos1)(sin 2)
dt t 1
34. w dw s (5) dw
x ds x ds
and w dw s (1) dw dw w 5 w 5 dw 5 dw 0
y ds y ds ds x y ds ds
35.
2
F( x, y) 1 x y sin xy Fx
1 y cos xy and
1 y cos xy
2 y x cos xy
at ( x, y ) (0,1) we have
dy
dx
(0,1)
dy Fx
1 y cos xy
Fy 2y x cos xy
dx F 2 y x cos xy
1 1
2
1
y
x y x y
36. F( x, y) 2xy e 2 Fx
2y e and
dy
at ( x, y ) (0, ln 2) we have 2ln 2 2 (ln 2 1)
dx
(0,ln 2)
0 2
x y dy Fx
2 y e
Fy 2x e
dx Fy
2x e
x
x
y
y
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