Thomas Calculus 13th [Solutions]

1160 Chapter 16 Integrals and Vector Fields
2 2 1 2 2 1 2 3 2
1
I 4 4
y x z ds
0 0 (2 2 t ) 5 dt
0 4 t 8 t
C
4 5 dt 5 t
3 4 t 4 t
0 3
5;
2 2 1 2 2
I 1
0 0 5 5 t
z x y ds t dt
C
3
0
3
5
3 1
39.
2 2
r( t ) (cos t ) i (sin t ) j t k, 0 t 2 dr
( sin ) (cos ) d sin cos 1 2;
dt
t i t j k r
dt
t t
2 2 2 2 2
(a) Iz
x y ds cos t sin t 2 dt 2 2
C
0
2 2
4
(b) Iz
x y ds 2 dt 4 2
C
0
40.
2 2 3/2
r( t) ( t cos t) i ( t sin t) j t k, 0 t 1 dr
(cos t t sin t) i (sin t t cos t) j 2t
k
3
dt
2 1
2
1
dr
( 1 1 2 2
t 1) t 1 for 0 t 1; M ds 3
0 ( t 1) dt
dt
C
2 ( t 1) 0 2 2 1 2
;
1 3/2 1 5/2 3/2 7/2 5/2
1
2 2 2 2 2 2
M 2 2
xy z ds t ( t 1) dt t t dt t t
C 0 3 3 0 3 7 5 0
M xy
2 2 2 2 2 2 24 16 2 16 2 2 32 2
z
3 7 5 3 35 35 M 35 3 105 ;
2 2 1 2 2 2 2 1 3 2
I cos sin ( 1) t t 1 1 7
z x y ds t t t t t dt t t dt
C
0 0 4 3
0
4 3 12
4 3 1
41. ( x, y, z) 2 z and r( t) (cos t) j (sin t) k , 0 t M 2 2 as found in Example 3 of the text; also
dr
dt
2 2 2 2
1; Ix
y z ds cos t sin t (2 sin t) dt (2 sin t) dt 2 2
C
0 0
42.
2 2
2 2 3/2 1/2 2
r( t ) t i t , 0 2 d 2 d 1 2 1 1 for
3 t j k
2
t r i
dt
t j t k r
dt
t t t t
0 t 2; M 2
1
2 2
1
0 1 (1 ) 0 2; 0 1 (1 ) t
C
ds t
t dt dt M yz
C
x ds t t
t dt 2
2;
0
M 2 2 2 2 3 2
2 2 3/2 4 2 5/2 32 ; t t 4
M yz
xz 1,
C
y ds 0 3 t dt 15 t 15 M xy
0 2 6
0
3 M
0
C
z ds dt x
M 16
M
2 2 2
xz
xy 2 8 3 1 4 2 4
y , and z ; I t 32 32 232
15 3 x y z ds t t dt t
;
M M C
0 9 4 9 20
0
9 20 45
2 2 2 2 4
I 1
t t 8 32 64
y x z ds t t dt
;
C
0 4 3 20
0
3 20 15
3 5 2
2 2 2 2 8 3 4
I t 2 8 32 56
z x y ds t t dt t
C
0 9 3 9
0
3 9 9
3 2
5 2
2 2
43-46. Example CAS commands:
Maple:
f: (x,y,z) - sqrt(1 30*x^2+10*y);
g: t - t;
h: t - t^2;
k: t - 3*t^2;
a,b: 0.2;
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