Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 16.3 Path Independence, Potential Functions, and Conservative Fields 1175
0
g y x y f y y
y z z y z z 2
z
2
z
1
g( y, z) h( z) f ( x, y, z) h( z) h ( z) h ( z) 0 h( z)
C
x y (2, 2, 2) 1 1 x y
2 2 1 1
y z (1,1,1) y z 2 2
y z
2 2 1 1
f ( x, y, z) C dx dy dz f (2, 2, 2) f (1, 1,1) C C
2xi 2 yj 2zk
2 2 2 2 x y
x y z
x y z
22. Let F( x, y, z) and let x y z , ,
2 2 2
P 4 yz N M 4xz P N 4xy
M
, , M dx N dy P dz is exact;
y 4 z z 4 x x 4 y
f 2 x
2 2 2
f 2 y g 2y
f ( x, y, z) ln x y z g( y, z)
x x y z y x y z y x y z
2 2 2 2 2 2 2 2 2
g 2 2 2 f 2 z
y z x y z
2 2 2
0 g( y, z) h( z) f ( x, y, z) ln x y z h( z) h ( z)
2 2 2
2 z
h ( z) 0 h( z) C f ( x, y, z) ln x y z C
x y z
(2, 2, 2) 2x dx 2y dy 2z dz
( 1, 1, 1)
2
x
2
y
2
z
f (2, 2, 2) f ( 1, 1, 1) ln 12 ln 3 ln 4
z
2 2 2
23. r ( i j k) t( i 2j 2 k) (1 t) i (1 2 t) j (1 2 t) k, 0 t 1 dx dt, dy 2 dt, dz 2 dt
(2, 3, 1) 1 1 2
y dx x dy 4 dz (2t 1) dt ( t 1)(2 dt) 4( 2) dt (4t 5) dt 2t 5t
3
(1,1,1) 0 0 0
1
24.
(0, 3, 4) 2
(0, 0, 0)
r t(3j 4 k), 0 t 1 dx 0, dy 3 dt, dz 4 dt x dx yz dy dz
1 2 9
1 2 2
t dt
t
dt t dt t
0 2
0 0
2 1
12 (3 ) (4 ) 54 18 18
2
y
2
P N M P N M
y z z x x y
25. 0 , 2 z , 0 M dx N dy P dz is exact F is conservative
path independence
P yz N M xz P N xy M
y
x y z
z z
x y z
x x
x y z
y
26. , ,
3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
M dx N dy P dz is exact F is conservative path independence
P N M P N 2x M
y z z x x y y
27. 0 , 0 ,
2
f
F is conservative there exists an f so that F f ;
2 2
2x 1
( , )
x f
( )
x
x
( ) ( )
1
( )
1
y y y
f x y g y g y g y g y C
x y y y 2 2 2
y
2 2 1
( , )
x 1
x
y y y
f x y C F
2
P N M P N e M
y z z x x y y
x
28. cos z , 0 ,
F is conservative there exists an f so that F f ;
f f x g x
g
x x e e
x y y y y y
e ln y f ( x, y, z) e ln y g( y, z) sin z sin z g( y, z)
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