Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 9.2 First-Order Linear Equations 671
8.
dy
dx
2x
2x
2x
2y 2 xe P( x) 2, Q( x) 2 xe P( x) dx 2 dx 2 x v( x)
e
y e 2 xe 2 dx x dx e 2 x 2 C x 2 e 2 Ce
2
1 x 2 x 1 2
x x x
2x
2x
e
e
dy
9. 1 2ln ( ) 1 ,
dx x y x P x Q( x) 2ln x P( x) dx 1 dx ln x, x 0
x
x
v ln 1 1
2 2
( x ) e x
2ln ln ln
x
y x x
x dx x x C x x Cx
dy
dx x x
x
x
x
v( x) 2
ln x 2 2
e x y 1 x cos x
dx 1 cos x dx 1 sin x C sin x C
2 2 2 2 2
x x x x x
10. 2 y cos x
, x 0 P( x) 2 , Q 2
( x ) cos x
P ( x ) dx 2 dx 2ln x ln x , x 0
2
2
11.
ds 4 s
t 1 P( t) 4 ,
dt t 1 3
( t 1)
t 1
Q( t) t 1 P( t) dt 4
4
3
( 1)
t 1
dt 4ln t 1 ln ( t 1)
t
4
t 3
1 t 1 1 1 t
4 3 4 4
t t t t 3
ln( 1) 4 4 2
v( t) e ( t 1) s ( t 1) dt t 1 dt t C
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
3
t t C
4 4 4
t t t
3( 1) ( 1) ( 1)
12. ( t 1) ds
2 s 3( t 1) 1 ds 2 s 1 2
2 1 3 P ( t
dt ) 3
( 1) dt t ( 1)
t 1
,
t
t
( ) 2
2 ln ( 1) 2
1
2ln 1 ln ( 1) ( ) t
P t dt dt t t v t e
t
( t 1)
s 1 ( t 1) 2 3 ( t 1) 3 dt 1 3( t 1) 2 ( t 1) 1 dt
2 2
( t 1) ( t 1)
1 3 2
( t 1) ln t 1 C ( t 1) ( t 1) ln ( t 1)
C
, t 1
2 2
( t 1) ( t 1)
2
Q( t) 3 ( t 1)
3
dr
d
13. (cot ) r sec P( ) cot ,
ln |sin |
Q( ) sec P( ) d cot d ln|sin | v( ) e
sin because 0 r 1 (sin )(sec ) d 1 tan d 1 ln|sec | C
2 sin sin sin
(csc ) ln|sec | C
14.
tan dr 2
r sin dr r sin 2 dr
tan tan
(cot ) r sin cos P
d d d
( ) cot , Q( ) sin cos
ln(sin )
P( ) d cot d ln sin ln(sin ) since 0 v( ) e sin
2
3 2
2
r 1 (sin )(sin cos ) d 1 sin cos d 1 sin C sin C
sin sin sin 3 3 sin
dy
2t 15. 2y 3 P( t) 2,
1 2t 1 3 2t
Q( t) 3 P( t) dt 2 dt 2 t v( t) e y 3 e dt e C ;
dt
2t
2t
2
y(0) 1 3 C 1 C 1 y 3 1 e
2 2 2 2
2t
e
e
16.
dy 2y
2
t P( t) 2 ,
dt t t
5 3
1 4
t dt 1 t
C
t C
2 2 5 5 2
t t t
2 ln 2 1 2 2
Q( t) t P( t) dt 2ln| t | v( t)
e t y t t dt
;
2
t
3
t
y(2) 1 8 C
1 C 12 y 12
5 4 5 5 5
2
t
2
t
Copyright
2014 Pearson Education, Inc.