Thomas Calculus 13th [Solutions]

Chapter 3 Practice Exercises 211
137.
y ( t 1)( t 1)
5
ln 5[ln( 1) ln( 1) ln( 2) ln( 3)]
( t 2)( t 3)
y t t t t
( 1)( 1)
5
1 dy 1 1 1 1 dy t t
5 5
1 1 1 1
y dt t 1 t 1 t 2 t 3 dt ( t 2)( t 3) t 1 t 1 t 2 t 3
u
138. 2 2 1 2 1 dy
y u ln y ln 2 ln u u ln 2 ln( u 1) 1 ln 2 u 1 2
2
2 2 2
u 1
y du u u 1
dy u
2u2 1 ln 2 u
u 1
1
du 2 u 2
u
139.
y
1 dy cos 1 1/2
(sin ) ln y ln(sin ) ln(sin )
y d sin 2
dy
d
(sin )
cot
ln(sin )
2
140. y 1/ln
1/ln
1 ln(ln )
(ln x x
) ln y 1 y 1 1 1 1 1
x x
ln(ln ) ln(ln ) (ln )
ln x x y ln x ln x x x 2 2
(ln x) x
y x x(ln x)
2
141. (a) S 2 r 2 rh and h constant dS 4 r dr 2 h dr (4 r 2 h)
dr
dt dt dt dt
2
(b) S 2 r 2 rh and r constant dS 2 r dh
dt dt
2
(c) S 2 r 2 rh dS 4 dr 2 dh dr
dt
r dt r dt h dt
(4 r 2 h ) dr 2 r dh
dt dt
(d) S constant dS
dt
0 0 (4 r 2 h) dr 2 dh
dt
r dt
(2 r h ) dr r dh dr r dh
dt dt dt 2r h dt
dr
dt
dh
dt
2 2
r h
142. S r r h dS r
dt
2 2
r h
2
(a) h constant dh 0 dS
r
dr
dt
dt dt 2 2
r h
(b) r constant dr 0 dS rh dh
dt dt 2 2
r h
dt
(c) In general, dS
dt
2 2
r h
r
r
2
2 2
h
2 2
r h
dr ;
dt
2 2
r h
dr
dt
dr rh dh
dt 2
r
2
h
dt
2
143. A r dA 2 dr ; so 10 and dr
dt
r dt
r 2 m
dt
/sec dA
dt
2 2
r h r dr
2 2
r h
dt
2
2
(2 )(10) 40 m /sec
2
3
144. V s dV
dt
3 2
s ds ds 1 dV ; so s
dt dt 2
3s
dt
3
20 and dV 1200 cm /min ds 1 (1200) 1 cm/min
dt dt 2
30(20)
dR1 dR2
145. 1 ohm/sec, 0.5 ohm/sec; and 1 1 1 1 dR 1 dR1 1 dR2
dt
dt
R
Also, R
R 2
1 R2
R dt 2 2
1 75 ohms
R dt dt
1 R2
and R 2 50 ohms 1 1 1 R 30 ohms. Therefore, from the derivative equation,
R 75 50
1 dR 1 ( 1) 1 (0.5) 1 1 dR
5000 5625 9(625)
( 900)
1 0.02 ohm/sec.
2 2 2
(30) dt (75) (50)
5625 5000 dt
5625 5000 50(5625) 50
146. dR 3 ohms/sec and dX
dt
dt
X
20 ohms dZ
dt
2 ohms/sec; Z
(10)(3) (20)( 2)
2 2
10 20
1
5
2 2
R X dZ
dt
0.45 ohm/sec.
R
dR dX
X
dt dt
2 2
R
X
so that R 10 ohms and
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