Thomas Calculus 13th [Solutions]

Chapter 3 Practice Exercises 205
84. (a)
(b)
2 2
1 2 2 dy
dy dy
x y x y 0 2y
2x
x
dx
dx dx y
2
dy x d y
dx y 2
dx
y(1)
y
dy
x
x y x
dx
y
2 2
y
y
2 2
y
3
x
1 (since 2 2
y x 1)
3
y
85. (a) Let h( x ) 6 f ( x) g( x) h ( x ) 6 f ( x) g ( x) h (1) 6 f (1) g (1) 6 1
2
( 4) 7
(b) Let h( x) 2
f ( x) g ( x) h ( x)
f ( x) (2 g( x)) g ( x) 2
g ( x) f ( x) h (0) 2 f (0) g(0) g (0)
2
g (0) f (0)
2(1)(1) 1 2
(1) ( 3)
2
2
(c) Let h ( x ) f ( x)
h
g( x) 1
x ) ( g( x) 1) f ( x) f ( x) g ( x)
( g(1) 1) f (1) f (1) g (1) (5 1)
1
3( 4)
2
h (1)
5
2
2
2
( g( x) 1)
( g(1) 1)
(5 1) 12
(d) Let h( x) f ( g( x)) h ( x ) f ( g( x)) g ( x) h (0) f ( g(0)) g (0) f (1) 1 1 1 1
2 2 2 4
(e) Let h( x) g( f ( x)) h ( x ) g ( f ( x)) f ( x) h (0) g ( f (0)) f (0) g (1) f (0) ( 4)( 3) 12
3/2
1/2
(f ) Let h( x) ( x f ( x)) h ( x)
3 ( ( )) (1 ( )) (1)
2 3 1/2
(1 (1)) (1 (1))
2 3 1/2
(1 3) 1 1 9
2 2 2
(g) Let h( x) f ( x g( x)) h ( x ) f ( x g( x))(1 g ( x)) h (0) f ( g(0))(1 g (0))
f (1) 1 1 1 3 3
2 2 2 4
86. (a) Let h( x) x f ( x) h ( x)
x f ( x) f ( x) 1 h (1) 1 f (1) f (1) 1 1 ( 3) 1 13
2 x
2 1 5 2 10
1/2
1/2
(b) Let h( x) ( f ( x)) h ( x)
1 ( ( )) ( ( )) (0)
2 f x f x h 1 1/2 1 1/2
( f (0)) f (0) (9) ( 2) 1
2 2 3
(c) Let h( x) f x h ( x)
f x 1 h (1) f 1 1 1 1 1
2 x
2 1 5 2 10
2
2
(d) Let h( x) f (1 5 tan x) h ( x)
f (1 5 tan x)( 5sec x) h (0) f (1 5 tan 0)( 5sec 0)
f (1)( 5) 1 ( 5) 1
5
( )
(e) Let ( ) f x
h x h
2 cos x
( x ) (2 cos x) f ( x) f ( x)( sin x)
(2 1) f (0) f (0)(0) 3( 2)
h (0)
2
2
2
(2 cos x)
(2 1)
9 3
2
(f ) Let ( ) 10sin x
2
h x f ( x) h ( x)
10sin x (2 f ( x) f ( x)) f ( x) 10cos x
2
2 2 2
2
h (1) 10sin (2 f (1) f (1)) f (1) 10cos 20( 3) 1 0 12
2
2 2
5
87.
2 dx
dy
2
x t 2 t; y 3sin 2x
3(cos 2 x)(2) 6cos 2x 6cos(2t
2 )
dt
dx
thus, dy dy dx
2 dy
6cos (2 t ) 2t 6cos(0) 0 0
dt dx dt
dt t 0
2
6cos (2 t );
88.
2 1/3
t ( u 2 u) dt 1 2 2/3
( 2 ) (2 2)
du 3 u u u 2 2 2/3
3 ( u 2 u) ( u 1); 2
s t 5t ds 2t
5
dt
2 1/3
2( u 2 u) 5; thus ds ds dt 2 1/3
[2( u 2 u) 5] 2 2 2/3
du dt du
3 ( u 2 u) ( u 1)
ds
2 1/3
[2(2 2(2)) 5] 2 2 2/3
du u 2
3 (2 2(2)) (2 1) 1/3 2/3
2(2 8 5)(8 ) 2(2 2 5) 1 9
4 2
89. dw dw dr cos r r
e e 1 3cos s
ds dr ds 2
6
; at x 0, r 3sin 3
r
6 2
3/2 3/2
dw cos 3/2 3/2 1 3cos 3 3e
3/2 3 2
3/2
2 3/2 6 cos e
4 3/2
4
cos
ds
e e e e
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